《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[跟踪训练 2] (1)(多选)已知不等式$ax^{2} + bx - 6 ＜ 0的解集为\{x|-3 ＜ x ＜ 2\}$,下列说法正确的是(BD)
A.$a ＜ 0$
B.$-3$,$2是方程ax^{2} + bx - 6 = 0$的两个实数根
C.$b = -1$
D.不等式$x^{2} - bx - 2a \geq 0的解集为\{x|x \leq -1$,或$x \geq 2\}$

答案： 解析：选 BD。因为不等式$ax^2 + bx - 6 ＜ 0$的解集为$\{x \mid -3 ＜ x ＜ 2\}$，所以$-3$和$2$是方程$ax^2 + bx - 6 = 0$的两个实数根，有$\begin{cases} a ＞ 0, \\ -3 + 2 = -\frac{b}{a}, \\ -3 × 2 = -\frac{6}{a}, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = 1, \end{cases}$故 A，C 错误，B 正确；不等式$x^2 - bx - 2a \geqslant 0$即$x^2 - x - 2 \geqslant 0$，可得解集为$\{x \mid x \leqslant -1, 或 x \geqslant 2\}$，故 D 正确。

(2)已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图象如图所示,则不等式$cx^{2} + bx + a ＜ 0$的解集为$\left\{x \mid x ＜ \frac{1}{3}, 或 x ＞ 1\right\}$。

答案： 解析：由题图得$1, 3$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个实数根，且$a ＜ 0$，所以$\begin{cases} 1 + 3 = -\frac{b}{a}, \\ 1 × 3 = \frac{c}{a}, \end{cases}$解得$\begin{cases} b = -4a, \\ c = 3a, \end{cases}$所以$cx^2 + bx + a ＜ 0$，即$3ax^2 - 4ax + a ＜ 0(a ＜ 0)$，化简得$3x^2 - 4x + 1 ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{1}{3}$或$x ＞ 1$，所以所求不等式的解集为$\left\{x \mid x ＜ \frac{1}{3}, 或 x ＞ 1\right\}$。
答案：$\left\{x \mid x ＜ \frac{1}{3}, 或 x ＞ 1\right\}$

[例 3] (对接教材例 4、例 5)某网店销售一批新款削笔器,进价为 10 元/个。经统计,该削笔器的日销售量$y$(单位：个)与售价$x$(单位：元)满足如图所示的函数关系。

(1)为了使这批削笔器的日利润最大,应怎样确定这批削笔器的售价？
(2)为了使这批削笔器的日利润不低于售价为 15 元时的日利润,求售价$x$的取值范围。
(1)为了使这批削笔器的日利润最大，这批削笔器的售价应定为每个 20 元。
(2)售价$x$的取值范围是$15 \leqslant x \leqslant 25$。

答案： 【解】（1）根据题图可设$y = kx + b(15 \leqslant x \leqslant 30)$，将$(15, 30)$和$(30, 0)$代入解得$k = -2$，$b = 60$，故$y = 60 - 2x(15 \leqslant x \leqslant 30)$，设日利润为$W$元，则$W = (60 - 2x)x - 10(60 - 2x) = -2x^2 + 80x - 600 = -2(x - 20)^2 + 200(15 \leqslant x \leqslant 30)$，所以当$x = 20$时，日利润最大。所以为了使这批削笔器的日利润最大，这批削笔器的售价应定为每个 20 元。
（2）由（1）可知，当$x = 15$时，$W = -2 × (15 - 20)^2 + 200 = 150$，要使这批削笔器的日利润不低于售价为 15 元时的日利润，则$-2x^2 + 80x - 600 \geqslant 150$，即$x^2 - 40x + 375 \leqslant 0$，对于方程$x^2 - 40x + 375 = 0$，$\Delta = 1600 - 1500 = 100 ＞ 0$，方程的两个实数根为$x_1 = 15, x_2 = 25$，所以$x^2 - 40x + 375 \leqslant 0$的解为$15 \leqslant x \leqslant 25$，所以为了使这批削笔器的日利润不低于售价为 15 元时的日利润，则售价$x$的取值范围是$15 \leqslant x \leqslant 25$。

[跟踪训练 3] 为配制一种药液,进行了两次稀释,先在容积为$V$(单位：升)的桶中盛满纯药液,第一次将桶中纯药液倒出 5 升后用水补满,搅拌均匀第二次倒出 4 升后用水补满,若此时桶中纯药液的含量不超过容积的 60%,则$V$的取值范围为$5 ＜ V \leqslant 20$。

答案： 解析：第一次将桶中纯药液倒出 5 升，则桶中纯药液还有$(V - 5)$升，加满水后纯药液含量占容积比例为$\frac{V - 5}{V}$。第二次倒出的 4 升液体中，纯药液有$\frac{4(V - 5)}{V}$升，则加满水后纯药液含量占容积比例为$\frac{V - 5 - \frac{4(V - 5)}{V}}{V}$，由题有$\frac{V - 5 - \frac{4(V - 5)}{V}}{V} \leqslant 60\%$，整理得$2V^2 - 45V + 100 \leqslant 0$，解得$\frac{5}{2} \leqslant V \leqslant 20$，又因为第一次将桶中纯药液倒出 5 升，结合实际知$V ＞ 5$。综上，$5 ＜ V \leqslant 20$。
答案：$5 ＜ V \leqslant 20$