《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

2. 已知$\frac{\pi}{2} ＜ \alpha ＜ \pi$,则$\cos \alpha \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} - \sqrt{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha}=$($\cos\alpha - 1$)
A.$\sin \alpha + 1$
B.$-1 - \cos \alpha$
C.$-1 + \sin \alpha$
D.$\cos \alpha - 1$

答案： 选D.因为$\frac{\pi}{2}＜\alpha＜\pi$,则$\sin\alpha＞0$,$\cos\alpha＜0$,故原式=$\cos\alpha\sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}}-\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2}=\cos\alpha\frac{1 - \sin\alpha}{-\cos\alpha}-(\sin\alpha - \cos\alpha)=\sin\alpha - 1 - \sin\alpha+\cos\alpha=\cos\alpha - 1$.

3. 已知$\sin \alpha,\cos \alpha$是关于x的方程$2x^{2} - x + t = 0$的两根,则实数$t = $$-\frac{3}{4}$。

答案： 由方程$2x^2 - x + t = 0$有两根,得$\Delta=1 - 8t\geqslant0$,解得$t\leqslant\frac{1}{8}$,依题意得$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$,$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{t}{2}$,则$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 - 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}-t = 1$,解得$t=-\frac{3}{4}$,符合题意,所以实数$t=-\frac{3}{4}$.答案:$-\frac{3}{4}$

1. 已知$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$,则$\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = $($\frac{\sqrt{3}}{3}$)
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$-\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案： 选A.$\cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\theta+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. (多选)已知角α的终边与单位圆相交于点$P(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$,则(AC)
A.$\cos \alpha = \frac{4}{5}$
B.$\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{5}$
C.$\sin(\alpha + \pi) = \frac{3}{5}$
D.$\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \frac{4}{5}$

答案： 选AC.根据三角函数的定义得,$\cos\alpha=\frac{4}{5}$,$\sin\alpha=-\frac{3}{5}$,故A正确;$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\alpha=\frac{4}{5}$,故B错误;$\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha=\frac{3}{5}$,故C正确;$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha=-\frac{3}{5}$,故D错误.

3. 已知$\sin(\alpha - 3\pi) = 2\cos(\alpha - 4\pi)$,则$\frac{\sin(\pi - \alpha) + 5\cos(2\pi - \alpha)}{2\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin(-\alpha)} = $______。

答案： 因为$\sin(\alpha - 3\pi)=2\cos(\alpha - 4\pi)$,所以$-\sin(3\pi - \alpha)=2\cos(4\pi - \alpha)$,所以$-\sin(\pi - \alpha)=2\cos(-\alpha)$,所以$\sin\alpha=-2\cos\alpha$且$\cos\alpha≠0$,所以原式=$\frac{\sin\alpha+5\cos\alpha}{-2\cos\alpha+\sin\alpha}=\frac{-2\cos\alpha+5\cos\alpha}{-2\cos\alpha-2\cos\alpha}=\frac{3\cos\alpha}{-4\cos\alpha}=-\frac{3}{4}$.答案:$-\frac{3}{4}$

4. 若$\tan \alpha = 2$,则$\frac{\sin(\pi + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + \cos(\pi - \alpha)}$的值为-3。

答案： 由$\tan\alpha=2$,得$\frac{\sin(\pi+\alpha)-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)+\cos(\pi-\alpha)}=\frac{-\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{-\tan\alpha-1}{\tan\alpha-1}=\frac{-2 - 1}{2 - 1}=-3$.答案: - 3

一 正弦函数、余弦函数的图象
思考 1 绘制函数图象,首先要准确绘制其上一点,对于正弦函数,在$[0,2\pi]上任取一个值x_0$,如何借助单位圆确定正弦函数值$\sin x_0$,并画出点$T(x_0,\sin x_0)$？

答案：
提示　如图，在[0,2π]上任取一个值x₀，根据正弦函数的定义可知点B的纵坐标y₀=sinx₀，此时弧AB的长度为x₀，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x₀,sinx₀).