《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

思考1
根据三角函数的定义,三角函数值的符号与什么有关系？
与点P的横、纵坐标的符号有关.

答案： 提示 与点P的横、纵坐标的符号有关.

思考2
角 $\alpha$ 的终边与坐标轴重合时,三角函数值有什么特点？
当角α的终边与x轴重合时,$\sin\alpha=0$,$\cos\alpha=\pm1$,$\tan\alpha=0$;当角α的终边与y轴重合时,$\sin\alpha=\pm1$,$\cos\alpha=0$,$\tan\alpha$无意义.

答案： 提示 当角α的终边与x轴重合时,$\sin\alpha=0$,$\cos\alpha=\pm1$,$\tan\alpha=0$;当角α的终边与y轴重合时,$\sin\alpha=\pm1$,$\cos\alpha=0$,$\tan\alpha$无意义.

例1
(1)(多选)已知 $x\in\left\{x\mid x\neq\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\right\}$,则函数 $y= \frac{\sin x}{|\sin x|}+\frac{\cos x}{|\cos x|}-\frac{\tan x}{|\tan x|}$ 的值可能为(AC)
A. $-3$ B. $-1$ C. $1$ D. $3$
(2)设 $\theta\in(0,2\pi)$,点 $P(\sin\theta,\cos\theta)$ 在第二象限,则角 $\theta$ 的取值范围是$\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$。

答案：
(1)AC
(2)$\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$

判断三角函数值符号的两个步骤
1. 定象限：确定角 $\alpha$ 所在的象限；
2. 定符号：利用三角函数值的符号变化规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断。

答案： 答题卡作答：
若判断$\sin\alpha\gt0$且$\cos\alpha\lt0$时角$\alpha$所在象限：
1. 根据三角函数值符号规律，$\sin\alpha\gt0$，说明角$\alpha$的终边可能在第一、二象限或$y$轴正半轴。
2. 又因为$\cos\alpha\lt0$，说明角$\alpha$的终边可能在第二、三象限或$x$轴负半轴。
综合可得角$\alpha$的终边在第二象限。
若判断$\tan\alpha\gt0$且$\sec\alpha\lt0$（$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}$）时角$\alpha$所在象限：
1. 因为$\tan\alpha\gt0$，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，角$\alpha$的终边可能在第一、三象限。
2. 由于$\sec\alpha\lt0$，即$\cos\alpha\lt0$，角$\alpha$的终边可能在第二、三象限或$x$轴负半轴。
综合可知角$\alpha$的终边在第三象限。
故答案依次为：第二象限；第三象限。

(1)“角 $\theta$ 为第三象限角”是“$\tan\theta＞0$”的(A)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A

(2)若 $\triangle ABC$ 是钝角三角形,则 $\cos A\tan B\cos C$＜$0$。(填“$＞$”,“$＜$”,“$=$”)

答案： ＜

二 诱导公式一
思考
如图,角 $\alpha$ 的终边 $OP$ 绕原点 $O$ 旋转无数周后的三角函数值与 $\alpha$ 对应的三角函数值相等吗？有什么规律？

提示 相等;成周期性变化,每转一周,重复一次.

答案： 提示 相等;成周期性变化,每转一周,重复一次.