《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

例 2
已知 $x + x^{-1} = 7$,求值：
(1) $x^2 + x^{-2}$；
(2) $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$.
母题探究 1
本例的条件不变,求 $x^3 + x^{-3}$ 的值.
母题探究 2
本例的条件不变,求 $x^2 - x^{-2}$ 的值.
【解】（1）$x+x^{-1}=7$，两边平方得$x^2+2·x·x^{-1}+x^{-2}=49$，即$x^2+2+x^{-2}=49$，所以$x^2+x^{-2}=47$. （2）设$m=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$，两边平方得$m^2=(x^{\frac{1}{2}})^2+2·x^{\frac{1}{2}}·x^{-\frac{1}{2}}+(x^{-\frac{1}{2}})^2=x+2+x^{-1}=7+2=9$，因为$m＞0$，所以$m=3$，即$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$. [母题探究1] 解：由$x+x^{-1}=7$平方可得$x^2+x^{-2}=47$，所以$x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})(x^2 - x·x^{-1} + x^{-2})=(x+x^{-1})(x^2 - 1 + x^{-2})=7×(47 - 1)=7×46=322$. [母题探究2] 解：设$n=x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}$，两边平方得$n^2=(x^{\frac{1}{2}})^2 - 2·x^{\frac{1}{2}}·x^{-\frac{1}{2}}+(x^{-\frac{1}{2}})^2=x - 2 + x^{-1}=7 - 2=5$，因为$n∈R$，所以$n=±\sqrt{5}$，即$x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=±\sqrt{5}$.又$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$，所以$x - x^{-1}=(x^{\frac{1}{2}})^2 - (x^{-\frac{1}{2}})^2=(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}})=3×(±\sqrt{5})=±3\sqrt{5}$，$x^2 - x^{-2}=(x)^2 - (x^{-1})^2=(x+x^{-1})(x - x^{-1})=7×(±3\sqrt{5})=±21\sqrt{5}$.

答案： 【解】（1）x+x⁻¹=7，两边平方得x²+2·x·x⁻¹+x⁻²=49，即x²+2+x⁻²=49，所以x²+x⁻²=47. （2）设m=x^(1/2)+x^(-1/2)，两边平方得m²=(x^(1/2))²+2·x^(1/2)·x^(-1/2)+(x^(-1/2))²=x+2+x⁻¹=7+2=9，因为m＞0，所以m=3，即x^(1/2)+x^(-1/2)=3. [母题探究1] 解：由x+x⁻¹=7平方可得x²+x⁻²=47，所以x³+x⁻³=(x+x⁻¹)(x² - x·x⁻¹ + x⁻²)=(x+x⁻¹)(x² - 1 + x⁻²)=7×(47 - 1)=7×46=322. [母题探究2] 解：设n=x^(1/2)-x^(-1/2)，两边平方得n²=(x^(1/2))² - 2·x^(1/2)·x^(-1/2)+(x^(-1/2))²=x - 2 + x⁻¹=7 - 2=5，因为n∈R，所以n=±√5，即x^(1/2)-x^(-1/2)=±√5.又x^(1/2)+x^(-1/2)=3，所以x - x⁻¹=(x^(1/2))² - (x^(-1/2))²=(x^(1/2)+x^(-1/2))(x^(1/2)-x^(-1/2))=3×(±√5)=±3√5，x² - x⁻²=(x)² - (x⁻¹)²=(x+x⁻¹)(x - x⁻¹)=7×(±3√5)=±21√5.

已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 4$,求下列各式的值：
(1) $a + a^{-1}$；
(2) $\frac{a^2 + a^{-2} - 2}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} - 3}$.
(1)将$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=4$两边平方，得$(a^{\frac{1}{2}})^2+2·a^{\frac{1}{2}}·a^{-\frac{1}{2}}+(a^{-\frac{1}{2}})^2=16$，即$a+2+a^{-1}=16$，所以$a+a^{-1}=14$.
(2)将$a+a^{-1}=14$两边平方，得$(a)^2+2·a·a^{-1}+(a^{-1})^2=196$，即$a^2+2+a^{-2}=196$，所以$a^2+a^{-2}=194$.$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=(a^{\frac{1}{2}})^3+(a^{-\frac{1}{2}})^3=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}·a^{-\frac{1}{2}}+a^{-1})=4×(14 - 1)=4×13=52$，所以$\frac{a^2+a^{-2} - 2}{a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}} - 3}=\frac{194 - 2}{52 - 3}=\frac{192}{49}$.

答案： 解：
(1)将a^(1/2)+a^(-1/2)=4两边平方，得(a^(1/2))²+2·a^(1/2)·a^(-1/2)+(a^(-1/2))²=16，即a+2+a⁻¹=16，所以a+a⁻¹=14.
(2)将a+a⁻¹=14两边平方，得(a)²+2·a·a⁻¹+(a⁻¹)²=196，即a²+2+a⁻²=196，所以a²+a⁻²=194.a^(3/2)+a^(-3/2)=(a^(1/2))³+(a^(-1/2))³=(a^(1/2)+a^(-1/2))(a - a^(1/2)·a^(-1/2)+a⁻¹)=4×(14 - 1)=4×13=52，所以(a²+a⁻² - 2)/(a^(3/2)+a^(-3/2) - 3)=(194 - 2)/(52 - 3)=192/49.

三 实际问题中的指数运算
例 3
某种放射性元素,每年在前一年的基础上按相同比例衰减,100 年后只剩原来的一半,现有这种元素 1 克,3 年后剩下(D)
A.0.015 克
B.$(1 - 0.5\%)^3$ 克
C.0.925 克
D.$\sqrt[100]{0.125}$ 克

答案： 【解析】设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余1×(1 - x)¹⁰⁰克，依题意得(1 - x)¹⁰⁰=0.5，所以x=1 - 0.5^(1/100).3年后剩余(1 - x)³克，将x的值代入，得结果为0.5^(3/100)=√[100]{0.5³}=√[100]{1/8}=√[100]{1/2³}=2^(-3/100). [答案] D

已知某企业生产总值连续两年持续增加,若第一年增长率为 $p$,第二年的增长率为 $q$,则该企业这两年生产总值的年平均增长率为(D)
A.$\frac{p + q}{2}$
B.$\sqrt{pq}$
C.$\frac{2pq}{p + q}$
D.$\sqrt{(1 + p)(1 + q)} - 1$

答案： 解析：选D.设企业这两年生产总值的年平均增长率为x，可得(1 + p)(1 + q)=(1 + x)²，解得x=√[(1 + p)(1 + q)] - 1.