《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

一 全称量词与全称量词命题
观察下列四个语句：
(1) $x ＞ 3$；
(2) $2x + 1$ 是整数；
(3) 对所有的 $x \in \mathbf{R}$,$x ＞ 3$；
(4) 对任意一个 $x \in \mathbf{Z}$,$2x + 1$ 是整数。
思考 1
语句(1)(2)是命题吗？
提示 语句(1)(2)中虽然含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题.
思考 2
语句(3)与(1),(4)与(2)有何关系,(3)(4)能判定真假吗？
提示 语句(3)在(1)的基础上,用短语"所有的"对变量x进行限定构成假命题,如取x=2,不满足x＞3;语句(4)在(2)的基础上,用短语"任意一个"对变量x进行限定构成真命题.

答案： 思考 1 提示 语句
(1)
(2)中虽然含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题. 提示 语句
(3)在
(1)的基础上,用短语"所有的"对变量x进行限定构成假命题,如取x=2,不满足x＞3;语句
(4)在
(2)的基础上,用短语"任意一个"对变量x进行限定构成真命题.

答案： ①∀ ②全称量词 ③∀x∈M,p(x)

[例 1]
(对接教材例 1)判断下列四个命题是否为全称量词命题,并判断真假。
(1) 在平面直角坐标系中,任意有序实数对 $(x,y)$ 都对应一点；
(2) 自然数的平方大于或等于零；
(3) $\forall x \in \mathbf{R}$,有 $|x + 1| ＞ 1$。
[解析]
(1)含有全称量词"任意",故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.
(2)省略了全称量词,可以表示为∀n∈N,n²≥0,故是全称量词命题,为真命题.
(3)是全称量词命题,当x=0时,不满足|x+1|＞1,所以"∀x∈R,有|x+1|＞1"为假命题.

答案： [解析]
(1)含有全称量词"任意",故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.
(2)省略了全称量词,可以表示为∀n∈N,n²≥0,故是全称量词命题,为真命题.
(3)是全称量词命题,当x=0时,不满足|x+1|＞1,所以"∀x∈R,有|x+1|＞1"为假命题.