《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例2] 求下列函数的定义域:
(1)$f(x)= \frac{x}{x - 1}+(x + 1)^{0}$;
(2)$f(x)= \frac{1}{\sqrt{x + 1}-2}$.
(1)由题意得x-1≠0且x+1≠0,即x≠1且x≠-1,故所求定义域为{x|x≠1且x≠-1}.
(2)由题意得{x+1≥0,√x+1-2≠0,解得x≥-1且x≠3,故所求定义域为{x|x≥-1且x≠3}.

答案：
(1)由题意得x-1≠0且x+1≠0,即x≠1且x≠-1,故所求定义域为{x|x≠1且x≠-1}.
(2)由题意得{x+1≥0,√x+1-2≠0,解得x≥-1且x≠3,故所求定义域为{x|x≥-1且x≠3}.

[跟踪训练2] (1) 函数$f(x)= \frac{(2x - 1)^{0}}{\sqrt{2 - x}}$的定义域为 (D)
A.$\{x\mid x\leqslant2\}$
B.$\{x\mid x\lt2\}$
C.$\begin{Bmatrix}x\mid x\leqslant2且x\neq \dfrac{1}{2}\end{Bmatrix} $
D.$\begin{Bmatrix}x\mid x\lt2且x\neq \dfrac{1}{2}\end{Bmatrix} $

答案： D

(2) 函数$y= \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\mid x - 3\mid - 1}$的定义域是{x|-2≤x＜2}.

答案： 解析:由题意得{4-x²≥0,|x-3|≠1,解得-2≤x＜2.答案:{x|-2≤x＜2}

[例3] 已知矩形的面积为10,如图所示,试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.

(1)$f(x)= \frac{10}{x}$;设矩形的长为x,宽为f(x),那么f(x)=10/x,其中x的取值范围A={x|x＞0},f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)＞0},对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的宽10/x.(2)$f(x)= 2x+\frac{20}{x}$.设矩形的长为x,周长为f(x),那么f(x)=2x+20/x.其中x的取值范围A={x|x＞0},f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)≥4√10},对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的周长2x+20/x.

答案：
(1)设矩形的长为x,宽为f(x),那么f(x)=10/x,其中x的取值范围A={x|x＞0},f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)＞0},对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的宽10/x.
(2)设矩形的长为x,周长为f(x),那么f(x)=2x+20/x.其中x的取值范围A={x|x＞0},f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)≥4√10},对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的周长2x+20/x.

[跟踪训练3] 试构建一个问题情境,当$0\lt x\lt1$时,变量$y与x的关系用y = 15(1 + x)^{3}$描述.
解:当0＜x＜1时,那么可以构建如下情境:某电商2025年利润为15万元,设利润的年平均增长率为x,预计2028年利润为y万元,那么y=15(1+x)³,其中x的取值范围是A={x|0＜x＜1},y的取值范围是B={y|15＜y＜120},对应关系f把每一个年平均增长率x,对应到唯一确定的利润15(1+x)³.

答案： 解:当0＜x＜1时,那么可以构建如下情境:某电商2025年利润为15万元,设利润的年平均增长率为x,预计2028年利润为y万元,那么y=15(1+x)³,其中x的取值范围是A={x|0＜x＜1},y的取值范围是B={y|15＜y＜120},对应关系f把每一个年平均增长率x,对应到唯一确定的利润15(1+x)³.