《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

4.(教材$ P_{161} T_{13} $改编)某医学研究所研发一种药物,据监测,如果成人在 2 h 内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,每毫升血液中的药物含量 y(单位：μg)与服药后的时间 t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线,其中 OA 是线段,曲线段 AB 是函数 y = ka^t(t ≥ 2,a ＞ 0 且 a ≠ 1,k,a 是常数)的图象,且 A(2,8),B(4,2)。

(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量 y 关于时间 t 的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于 1 μg 时治疗有效,如果某人第一次注射药物为早上 8 点,为保持疗效,第二次注射药物最迟是当天几点钟？
（1）当$ 0\leq t＜2 $时，设$ y=kt $，将$ (2,8) $代入得$ 2k=8 $，$ k=4 $，所以$ y=4t $；当$ t\geq2 $时，将$ A(2,8),B(4,2) $代入$ y=ka^{t} $得$ \begin{cases} ka^{2}=8, \\ ka^{4}=2, \end{cases} $两式相除得$ a^{2}=\frac{1}{4} $，$ a=\frac{1}{2}(0＜a＜1) $，代入得$ k=32 $，所以$ y=32×\left( \frac{1}{2} \right)^{t} $，综上，$ y=\begin{cases} 4t,0\leq t＜2, \\ 32×\left( \frac{1}{2} \right)^{t},t\geq2. \end{cases} $
（2）令$ 32×\left( \frac{1}{2} \right)^{t}\geq1 $，即$ \left( \frac{1}{2} \right)^{t}\geq\frac{1}{32} $，$ 2^{t}\leq32 $，$ t\leq5 $，所以第一次注射后最迟 5 小时注射第二次，即早上 8 点 + 5 小时 = 下午 1 点，所以最迟当天下午 1 点注射药物。

答案： （1）当$ 0\leq t＜2 $时，设$ y=kt $，将$ (2,8) $代入得$ 2k=8 $，$ k=4 $，所以$ y=4t $；当$ t\geq2 $时，将$ A(2,8),B(4,2) $代入$ y=ka^{t} $得$ \begin{cases} ka^{2}=8, \\ ka^{4}=2, \end{cases} $两式相除得$ a^{2}=\frac{1}{4} $，$ a=\frac{1}{2}(0＜a＜1) $，代入得$ k=32 $，所以$ y=32×\left( \frac{1}{2} \right)^{t} $，综上，$ y=\begin{cases} 4t,0\leq t＜2, \\ 32×\left( \frac{1}{2} \right)^{t},t\geq2. \end{cases} $
（2）令$ 32×\left( \frac{1}{2} \right)^{t}\geq1 $，即$ \left( \frac{1}{2} \right)^{t}\geq\frac{1}{32} $，$ 2^{t}\leq32 $，$ t\leq5 $，所以第一次注射后最迟 5 小时注射第二次，即早上 8 点 + 5 小时 = 下午 1 点，所以最迟当天下午 1 点注射药物。

1. 函数 $ f(x)= \ln(x - 1)+x-\frac{5}{2} $ 的零点所在区间是(B)
A.$ (1,2) $
B.$ (2,3) $
C.$ (3,4) $
D.$ (4,5) $

答案： 解析:选B.易知$f(x)=\ln (x - 1) + x - \frac{5}{2}$在$(1, +\infty)$上单调递增，且$f(2)=-\frac{1}{2}＜0$，$f(3)=\ln 2 + \frac{1}{2}＞0$，$f(2)f(3)＜0$，故由函数零点存在定理可知函数$f(x)=\ln (x - 1) + x - \frac{5}{2}$在区间$(2, 3)$上必有零点。

2. 用二分法求函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ [2,4] $ 上零点的近似值,经验证有 $ f(2)f(4)＜0 $,取区间的中点 $ x_1 $,计算得 $ f(2)f(x_1)＜0 $,则此时零点 $ x_0 $ 满足(C)
A.$ x_0 = x_1 $
B.$ x_0＞x_1 $
C.$ 2＜x_0＜3 $
D.$ x_0＜2 $

答案： 解析:选C.根据题意，$x_{1}=\frac{2 + 4}{2}=3$，且$f(2)f(x_{1})＜0$，则$f(2)f(3)＜0$，所以根据函数零点存在定理，$x_{0}∈(2, 3)$。

3. 若函数 $ f(x)= \log_2x-\frac{1}{x}+a $ 在区间 $ (1,2) $ 上存在零点,则实数 $ a $ 的取值范围为$(-\frac{1}{2}, 1)$。

答案： 解析:因为函数$y = \log _{2}x$，$y = a - \frac{1}{x}$在$(1, 2)$上均为增函数，所以函数$f(x)=\log _{2}x - \frac{1}{x} + a$在区间$(1, 2)$上为增函数。因为函数$f(x)=\log _{2}x - \frac{1}{x} + a$在区间$(1, 2)$上存在零点，则$\begin{cases}f(1)=a - 1＜0\\f(2)=\frac{1}{2} + a＞0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}＜a＜1$。因此，实数$a$的取值范围是$(-\frac{1}{2}, 1)$。答案:$(-\frac{1}{2}, 1)$