《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

已知$p$：$x ＜ a^{2}-2a - 1$,$q$：$x ＜ a^{2}+5$。
(1)若$p是q$的充要条件,求$a$的值；
(2)若$p是q$的充分不必要条件,求$a$的取值范围。
[解]　(1)因为$p$是$q$的充要条件，所以$a^{2}-2a-1=a^{2}+5$，解得$a=-3$．
(2)因为$p$是$q$的充分不必要条件，所以$\{x|x＜a^{2}-2a-1\}\subsetneqq \{x|x＜a^{2}+5\}$，即$a^{2}-2a-1＜a^{2}+5$，解得$a＞-3$，所以$a$的取值范围是$\{a|a＞-3\}$．

答案： [解]　
(1)因为$p$是$q$的充要条件，所以$a^{2}-2a-1=a^{2}+5$，解得$a=-3$．
(2)因为$p$是$q$的充分不必要条件，所以$\{x|x＜a^{2}-2a-1\}\subsetneqq \{x|x＜a^{2}+5\}$，即$a^{2}-2a-1＜a^{2}+5$，解得$a＞-3$，所以$a$的取值范围是$\{a|a＞-3\}$．

(1)二次函数$y = x^{2}+mx + 1的图象关于直线x = - 1$对称的充要条件是(B)
A.$m= -2$
B.$m = 2$
C.$m= -1$
D.$m = 1$

答案： 解析：选B．因为函数$y=x^{2}+mx+1$的图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{m}{2}$，则$x=-\dfrac{m}{2}=-1$，即$m=2$．

(2)求证：关于$x的方程ax^{2}+bx + c = 0有一个根为1的充要条件是a + b + c = 0$。
证明：充分性：因为$a+b+c=0$，所以$c=-a-b$，代入方程$ax^{2}+bx+c=0$，得$ax^{2}+bx-a-b=0$，即$(x-1)(ax+a+b)=0$．所以方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根为$1$，充分性成立．必要性：因为方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根为$1$，所以$x=1$满足方程$ax^{2}+bx+c=0$，所以$a× 1^{2}+b× 1+c=0$，即$a+b+c=0$，必要性成立．故关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根为$1$的充要条件是$a+b+c=0$．

答案： 证明：充分性：因为$a+b+c=0$，所以$c=-a-b$，代入方程$ax^{2}+bx+c=0$，得$ax^{2}+bx-a-b=0$，即$(x-1)(ax+a+b)=0$．所以方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根为$1$，充分性成立．必要性：因为方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根为$1$，所以$x=1$满足方程$ax^{2}+bx+c=0$，所以$a× 1^{2}+b× 1+c=0$，即$a+b+c=0$，必要性成立．故关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根为$1$的充要条件是$a+b+c=0$．

1. 点$P(x,y)$是第二象限的点的充要条件是(B)
A.$x＜0$,$y＜0$
B.$x＜0$,$y＞0$
C.$x＞0$,$y＞0$
D.$x＞0$,$y＜0$

答案： 解析：选B．因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点$P(x,y)$是第二象限的点的充要条件是$x＜0$，$y＞0$．

2. (多选)已知“$x＜1$”是“$x＜a$”的充分不必要条件,则$a$的值可能为(CD)
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$4$

答案： 解析：选CD．因为“$x＜1$”是“$x＜a$”的充分不必要条件，所以$\{x|x＜1\}\subsetneqq \{x|x＜a\}$，所以$a＞1$．

3. (教材$P_{22}习题1.4T_{1}$改编)写出$x\geq0$的一个必要不充分条件为$x＞-1$（答案不唯一）。

答案： 解析：若$x＞-1$，则不一定有$x\geqslant 0$；若$x\geqslant 0$则一定有$x＞-1$，所以$x＞-1$是$x\geqslant 0$的必要不充分条件，即$x\geqslant 0$的一个必要不充分条件为$x＞-1$．答案：$x＞-1$（答案不唯一）

4. (教材$P_{23}T_{3(3)}$改编)设集合$A$,$B$,求证：$A\subseteq B是A\cup B = B$的充要条件。
证明：充分性：因为$A\subseteq B$，即对所有的$x\in A$，有$x\in B$，所以当$A\subseteq B$时，$A\cup B=B$，故充分性成立．必要性：因为$A\cup B=B$，所以对所有的$x\in A$，有$x\in (A\cup B)$，即$x\in B$，所以$A\subseteq B$．所以当$A\cup B=B$时，$A\subseteq B$，故必要性成立．所以$A\subseteq B$是$A\cup B=B$的充要条件．

答案： 证明：充分性：因为$A\subseteq B$，即对所有的$x\in A$，有$x\in B$，所以当$A\subseteq B$时，$A\cup B=B$，故充分性成立．必要性：因为$A\cup B=B$，所以对所有的$x\in A$，有$x\in (A\cup B)$，即$x\in B$，所以$A\subseteq B$．所以当$A\cup B=B$时，$A\subseteq B$，故必要性成立．所以$A\subseteq B$是$A\cup B=B$的充要条件．