《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

一般地,函数 $\textcircled{1}$y=logₐx(a＞0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 $ x $ 是自变量,定义域是 $\textcircled{2}$(0,+∞)。

答案： ①y=logₐx(a＞0,且 a≠1) ②(0,+∞)

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 由 $ y = \log_a x $,得 $ x = a^y $,所以 $ x ＞ 0 $。(√)
(2) $ y = \log_2 x^2 $ 是对数函数。(×)
(3) 若 $ y = \log_a x $ 是对数函数,则 $ a ＞ 0 $,且 $ a \neq 1 $。(√)
(4) 函数 $ y = \log_a (x - 1) $ 的定义域为 $ (0, +\infty) $。(×)

答案：
(1)√
(2)×
(3)√
(4)×

2. 若函数 $ f(x) = (a^2 - 3a + 3)\log_a x $ 是对数函数,则 $ a $ 的值是(C)
A.1 或 2
B.1
C.2
D.$ a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 $

答案： C

3. 已知对数函数的图象过点 $ (4, 2) $,则其解析式为y=log₂x。

答案： y=log₂x

[例 1]
(1) 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{1 - x} + \lg (x + 1) $,则 $ f(x) $ 的定义域为(D)
A. $ (-1, +\infty) $
B. $ [-1, +\infty) $
C. $ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $
D. $ (-1, 1) \cup (1, +\infty) $
(2) 已知函数 $ f(x) = \frac{\log_2 (2 - x)}{\sqrt{x + 3}} $,则函数 $ f(x) $ 的定义域为(-3,2)。

答案：
(1)D
(2)(-3,2)

(1) 函数 $ y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} + \log_{0.5} (4x - 3) $ 的定义域为(B)
A.$ \left[ \frac{3}{4}, 1 \right) $
B.$ \left( \frac{3}{4}, 1 \right) $
C.$ \left( \frac{3}{4}, +\infty \right) $
D.$ \left( -\infty, \frac{3}{4} \right) $

答案：
(1)B

(2) 函数 $ f(x) = \frac{1}{x \ln x} $ 的定义域为______。

答案：
(2)(0,1)∪(1,+∞)

[例 2]
科学家研究发现候鸟的飞行速度 $ v $(单位：$ km/min $)可以表示为 $ v = \frac{1}{2} \log_3 \frac{x}{100} - \lg x_0 $,其中 $ x $ 表示候鸟的耗氧量的单位数,$ x_0 $ 表示测量过程中候鸟的耗氧偏差的单位数。(参考数据：$ 3^{0.3} \approx 1.39 $,$ 3^{0.6} \approx 1.93 $,$ 3^{1.2} \approx 3.74 $)
(1) 当 $ x_0 = 10 $ 时,计算候鸟静止时耗氧量的单位数；
(2) 若雄鸟的飞行速度为 $ 0.8 km/min $,雌鸟的飞行速度为 $ 0.5 km/min $,求此时雄鸟每分钟的耗氧量大约是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍。
(1)将 x₀=10,v=0,代入 v=1/2 log₃ x/100 - lg x₀,得 0=1/2 log₃ x/100 - lg10,则 log₃ x/100=2lg10=2,即 x/100=3²=9,解得 x=900.故候鸟静止时,它每分钟的耗氧量为 900 个单位.
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为 x₂个单位,雌鸟每分钟耗氧量为 x₁个单位,由题意得{█(0.5=1/2 log₃ x₁/100 - lg x₀@0.8=1/2 log₃ x₂/100 - lg x₀)┤,两式相减得 0.3=1/2 log₃ x₂/x₁,解得 x₂/x₁=3⁰.⁶≈1.93.所以雄鸟每分钟的耗氧量大约是雌鸟每分钟的耗氧量的 1.93 倍.

答案：
(1)将 x₀=10,v=0,代入 v=1/2 log₃ x/100 - lg x₀,得 0=1/2 log₃ x/100 - lg10,则 log₃ x/100=2lg10=2,即 x/100=3²=9,解得 x=900.故候鸟静止时,它每分钟的耗氧量为 900 个单位.
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为 x₂个单位,雌鸟每分钟耗氧量为 x₁个单位,由题意得{█(0.5=1/2 log₃ x₁/100 - lg x₀@0.8=1/2 log₃ x₂/100 - lg x₀)┤,两式相减得 0.3=1/2 log₃ x₂/x₁,解得 x₂/x₁=3⁰.⁶≈1.93.所以雄鸟每分钟的耗氧量大约是雌鸟每分钟的耗氧量的 1.93 倍.