《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

一 全称量词命题的否定
思考 1
已知命题 $ p $：若 $ x = 5 $,则 $ x^2 = 25 $,其否定是什么？两命题真假性有无关系？
提示 命题p的否定为:若x=5,则x²≠25,命题p为真命题,其否定为假命题,二者只能一真一假.
思考 2
全称量词命题的否定,是只否定结论吗？
提示 不是,量词也要随之改变.

答案： 思考1 提示 命题p的否定为:若x=5,则x²≠25,命题p为真命题,其否定为假命题,二者只能一真一假. 思考2 提示 不是,量词也要随之改变.

（1）命题“∀x∈M，p(x)”的否定是①∃x∈M,¬p(x)。
（2）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做②存在量词。

答案： ①∃x∈M,¬p(x) ②存在量词

例 1
(对接教材例 3)写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)$ \forall a \in \mathbf{R} $,方程 $ x^2 + ax + 2 = 0 $ 有实数根；
(3)$ \forall a, b \in \mathbf{R} $,方程 $ ax = b $ 都有唯一解；
(4)可以被 5 整除的整数,末位是 0.
(1)该命题的否定为:存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)该命题的否定为:∃a∈R,方程x²+ax+2=0没有实数根.
(3)该命题的否定为:∃a,b∈R,方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)该命题的否定为:存在被5整除的整数,末位不是0.

答案：
(1)该命题的否定为:存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)该命题的否定为:∃a∈R,方程x²+ax+2=0没有实数根.
(3)该命题的否定为:∃a,b∈R,方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)该命题的否定为:存在被5整除的整数,末位不是0.

(1)命题“$ \forall x \in \mathbf{R}, x^2 - x + 4 = 0 $”的否定是(D)
A.$ \forall x \in \mathbf{R}, x^2 - x + 4 \neq 0 $
B.$ \forall x \in \mathbf{R}, x^2 - x + 4 ＞ 0 $
C.$ \exists x \in \mathbf{R}, x^2 - x + 4 ＜ 0 $
D.$ \exists x \in \mathbf{R}, x^2 - x + 4 \neq 0 $

答案： 解析:选D.命题"∀x∈R,x²-x+4=0"的否定是"∃x∈R,x²-x+4≠0".

(2)已知命题 $ p $：$ \forall x \in \mathbf{Q}, x \in \mathbf{N} $,则 $ \neg p $ 为∃x∈Q,x∉N.

答案： 解析:因为p:∀x∈Q,x∈N,所以¬p为∃x∈Q,x∉N. 答案:∃x∈Q,x∉N

二 存在量词命题的否定
思考 1
命题“有些平行四边形是菱形”其否定是“没有一个平行四边形是菱形”,其否定用含量词的命题如何表示？
提示 每一个平行四边形都不是菱形.
思考 2
存在量词命题的否定是全称量词命题,只改变量词吗？
提示 不是,不但把存在量词改为全称量词,还要否定结论.

答案： 思考1 提示 每一个平行四边形都不是菱形. 思考2 提示 不是,不但把存在量词改为全称量词,还要否定结论.