《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

若 $a ＞ b ＞ 0$,$c ＜ d ＜ 0$,证明：$\frac{a}{(b - d)^2} ＞ \frac{b}{(a - c)^2}$。
证明:因为c＜d＜0,所以-c＞-d＞0,又因为a＞b＞0,所以a-c＞b-d＞0,所以(a-c)²＞(b-d)²＞0,则有0＜1/(a-c)²＜1/(b-d)²,又因为a＞b＞0,所以a/(b-d)²＞b/(a-c)².

答案： 证明:因为c＜d＜0,所以-c＞-d＞0,又因为a＞b＞0,所以a-c＞b-d＞0,所以(a-c)²＞(b-d)²＞0,则有0＜1/(a-c)²＜1/(b-d)²,又因为a＞b＞0,所以a/(b-d)²＞b/(a-c)².

例3
已知 $1 ＜ x ＜ 3$,$-2 ＜ y ＜ -1$,则 $2x + 3y$ 的取值范围为 $\underline{-4＜2x+3y＜3}$,$\frac{x}{y}$ 的取值范围为 $\underline{$-3＜\frac{x}{y}＜-\frac{1}{2}$}$。

答案： 【解析】 因为1＜x＜3,-2＜y＜-1,所以2＜2x＜6,-6＜3y＜-3,所以-4＜2x+3y＜3;因为-2＜y＜-1,所以1＜-y＜2,即1/2＜-1/y＜1,又因为1＜x＜3,所以1/2＜-x/y＜3,即-3＜x/y＜-1/2.【答案】 -4＜2x+3y＜3 -3＜x/y＜-1/2

本例条件不变,证明：$-4 ＜ xy + x - y ＜ 4$。
证明:因为-2＜y＜-1,所以1＜-y＜2,又1＜x＜3,所以2＜x-y＜5,1＜-xy＜6,所以-6＜xy＜-1,所以-4＜xy+x-y＜4.

答案： 证明:因为-2＜y＜-1,所以1＜-y＜2,又1＜x＜3,所以2＜x-y＜5,1＜-xy＜6,所以-6＜xy＜-1,所以-4＜xy+x-y＜4.

若 $1 ＜ a ＜ 3$,$-4 ＜ b ＜ 2$,则 $z = a - |b|$ 的取值范围是(-3＜z＜3)
A.$\{z|-3 ＜ z \leq 3\}$
B.$\{z|-3 ＜ z ＜ 5\}$
C.$\{z|-3 ＜ z ＜ 3\}$
D.$\{z|1 ＜ z ＜ 4\}$

答案： 解析:选 C.由题知0≤|b|＜4,则-4＜-|b|≤0,又1＜a＜3,所以-3＜a-|b|＜3.

1. 若 $a ＞ 0$,$b ＜ 0$,且 $|a| ＜ |b|$,则 $a + b$ 一定是(B)
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数

答案： 解析:选 B.因为a＞0,b＜0,所以|a|=a,|b|=-b,又因为|a|＜|b|,所以a＜-b,则a+b＜0,所以a+b一定是负数.

2.(多选)(教材 $P_{43}T_8$ 改编)下列命题正确的是(AC)
A.若 $ab ＞ 0$,$bc - ad ＞ 0$,则 $\frac{c}{a} - \frac{d}{b} ＞ 0$
B.若 $a ＞ b$,$c ＞ d ＞ 0$,则 $\frac{a}{d} ＞ \frac{b}{c}$
C.若 $a ＜ b ＜ 0$,则 $\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$
D.若 $a ＞ b$,则 $a|c| ＞ b|c|$

答案： 解析:选 AC.对于 A,若ab＞0,bc-ad＞0,则c/a - d/b=(bc-ad)/ab＞0,即 A 正确;对于 B,若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则a/d=-1,b/c=-1,所以a/d=b/c=-1,即 B 错误;对于 C,因为a＜b＜0,y=1/x在x＜0时,y随x增大而减小,所以1/a＞1/b,即 C 正确;对于 D,当c=0时,此命题并不成立,即 D 错误.

3.(教材 $P_{43}T_5$ 改编)设实数 $x$,$y$ 满足：$1 \leq x \leq 2$,$6 \leq y \leq 8$,

则

$\frac{y}{x}$ 的取值范围是 $\underline{$3 \leq \frac{y}{x} \leq 8$}$。

答案： 解析:因为1≤x≤2,所以1/2≤1/x≤1,又因为6≤y≤8,所以1/2×6≤y/x≤1×8,即3≤y/x≤8.答案:3≤y/x≤8

4. 已知 $bc - ad \geq 0$,$bd ＞ 0$,求证：$\frac{a + b}{b} \leq \frac{c + d}{d}$。
证明:因为bd＞0,要证(a+b)/b ≤ (c+d)/d,只需证明d(a+b)≤b(c+d),展开得ad+bd≤bc+bd,即ad≤bc,则bc-ad≥0,因为bc-ad≥0成立,所以(a+b)/b ≤ (c+d)/d成立.

答案： 证明:因为bd＞0,要证(a+b)/b ≤ (c+d)/d,只需证明d(a+b)≤b(c+d),展开得ad+bd≤bc+bd,即ad≤bc,则bc-ad≥0,因为bc-ad≥0成立,所以(a+b)/b ≤ (c+d)/d成立.