《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

9. 已知 $ 2x - 1 $ 和 $ 4x + 3 $ 是 $ m $ 的两个不同的平方根。
(1)求 $ x $,$ m $ 的值；
(2)求 $ 1 - 9x $ 的平方根。

答案： 解:
(1)由题意知$2x-1+4x+3=0$,
解得$x=-\frac{1}{3}$,
所以$m=(2x-1)^{2}=[2× (-\frac{1}{3})-1]^{2}=\frac{25}{9}$。
(2)因为$x=-\frac{1}{3}$,
所以$1-9x=1-9× (-\frac{1}{3})=4$。
因为4的平方根为±2,
所以$1-9x$的平方根为±2。

10. 小明是一位善于思考、勇于创新的同学。在学习了有关平方根的知识后,小明知道负数没有平方根。比如：因为没有一个数的平方等于 $ -1 $,所以 $ -1 $ 没有平方根。有一天,小明想：如果存在一个数 $ i $,使 $ i^2 = -1 $,那么 $ (-i)^2 = -1 $,因此 $ -1 $ 就有两个平方根了。进一步,小明想：因为 $ (\pm 2i)^2 = -4 $,所以 $ -4 $ 的平方根就是 $ \pm 2i $；因为 $ (\pm 3i)^2 = -9 $,所以 $ -9 $ 的平方根就是 $ \pm 3i $。请根据上面的信息解答下列问题：
(1)求 $ -16 $,$ -25 $ 的平方根；
(2)求 $ i^3 $,$ i^4 $,$ i^5 $,$ i^6 $,$ i^7 $,$ i^8 $,…$$ 的值,你发现了什么规律？将你发现的规律用式子表示出来。

答案： 解:
(1)因为$(\pm 4i)^{2}=-16$,
所以$\pm \sqrt{-16}=\pm 4i$。
因为$(\pm 5i)^{2}=-25$,所以$\pm \sqrt{-25}=\pm 5i$。
(2)$i^{3}=i^{2}\cdot i=-i$,$i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$,
$i^{5}=i^{4}\cdot i=i$,$i^{6}=i^{5}\cdot i=-1$,$i^{7}=i^{6}\cdot i=-i$,
$i^{8}=i^{7}\cdot i=1$。
规律:i每四次方一个循环,即i,-1,-i,1。

一般地,如果一个数 $ x $ 的立方等于 $ a $,即$x^{3}=a$,那么这个数 $ x $ 就叫作 $ a $ 的立方根(也叫作三次方根)。

答案： $x^{3}=a$

正数的立方根是正数,$ 0 $ 的立方根是 $ 0 $,负数的立方根是负数。

答案： 正数 负数

求一个数 $ a $ 的立方根的运算叫作开立方,$ a $ 叫作被开方数。

答案： 立方根

例 1 求下列各数的立方根：
(1)$ 0.216 $；(2)$ -3\frac{3}{8} $；(3)$ \pm 125 $。
【点拨】运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法。求带分数的立方根时,要先将带分数化为假分数,且一个数的立方根只有一个。

答案：
(1)
因为$0.6^3 = 0.216$，
所以$\sqrt[3]{0.216}=0.6$。
(2)
因为$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，且$(-\frac{3}{2})^3 = -\frac{27}{8}$，
所以$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
(3)
因为$5^3 = 125$，
所以$\sqrt[3]{125}=5$；
因为$(-5)^3=-125$，
所以$\sqrt[3]{-125}=-5$。