《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AD\perp BC$ 于点 $D$,$\angle ACB$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$,交 $AB$ 于点 $F$,$FG\perp BC$ 于点 $G$,求证：$AE = FG$。

答案： 证明:因为CF平分∠ACB,∠BAC=90°,FG⊥BC,所以FG=FA,∠ACF=∠ECD。
因为∠AFC+∠ACF=90°,∠DEC+∠ECD=90°,
所以∠AFC=∠DEC。
又因为∠AEF=∠DEC,
所以∠AFC=∠AEF,
所以AE=FA,
所以AE=FG。

10. 如图(1),在 $\triangle ABC$ 中,已知 $AB = AC$,$\angle ABC$,$\angle ACB$ 的平分线交于点 $O$,过点 $O$ 作 $EF// BC$,分别交 $AB$,$AC$ 于点 $E$,$F$。
(1)图中的等腰三角形有△AEF,△OEB,△OFC,△OBC,△ABC。
猜想 $EF$ 与 $BE$,$CF$ 之间的关系,并说明理由。
EF,BE,CF之间的关系是EF=BE+CF,理由如下:
因为OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,
所以∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB。
因为EF//BC,
所以∠EOB=∠OBC=∠EBO,
∠FOC=∠OCB=∠FCO,
所以EO=EB,FO=CF。
所以EF=EO+OF=BE+CF。
(2)如图(2),若 $AB\neq AC$,则图中的等腰三角形有△EOB,△FOC。第(1)问中 $EF$ 与 $BE$,$CF$ 间的关系还存在吗？
(1)中EF与BE,CF间的关系仍然成立。(证明过程同(1))
(3)如图(3),在 $\triangle ABC$ 中,$AB\neq AC$,$\angle ABC$ 的平分线 $BO$ 与三角形的外角 $\angle ACG$ 的平分线 $CO$ 交于点 $O$,过点 $O$ 作 $OE// BC$,交 $AB$ 于点 $E$,交 $AC$ 于点 $F$。这时图中还有等腰三角形吗？$EF$ 与 $BE$,$CF$ 的关系又如何？说明你的理由。
△EOB和△FOC是等腰三角形,EF=BE - CF。理由如下:
因为OE//BC,
所以∠FOC=∠OCG,∠BOE=∠CBO。
又因为OC平分∠ACG,
所以∠ACO=∠OCG,
所以∠FCO=∠FOC,
所以FO=CF,所以△FOC是等腰三角形。
因为OB平分∠ABC,
所以∠EBO=∠CBO,
所以∠EBO=∠BOE,
所以OE=BE,所以△EOB是等腰三角形。
所以EF=EO - FO=BE - CF。

答案： 解:
(1)图中的等腰三角形有△AEF,△OEB,△OFC,△OBC,△ABC。
EF,BE,CF之间的关系是EF=BE+CF,理由如下:
因为OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,
所以∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB。
因为EF//BC,
所以∠EOB=∠OBC=∠EBO,
∠FOC=∠OCB=∠FCO,
所以EO=EB,FO=CF。
所以EF=EO+OF=BE+CF。
(2)当AB≠AC时,图中的等腰三角形有△EOB,△FOC,
(1)中EF与BE,CF间的关系仍然成立。(证明过程同
(1))
(3)△EOB和△FOC是等腰三角形,EF=BE - CF。理由如下:
因为OE//BC,
所以∠FOC=∠OCG,∠BOE=∠CBO。
又因为OC平分∠ACG,
所以∠ACO=∠OCG,
所以∠FCO=∠FOC,
所以FO=CF,所以△FOC是等腰三角形。
因为OB平分∠ABC,
所以∠EBO=∠CBO,
所以∠EBO=∠BOE,
所以OE=BE,所以△EOB是等腰三角形。
所以EF=EO - FO=BE - CF。