《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

10. 如图,已知点E为等腰△ABC的底边BC上的动点,过点E作EF⊥BC交AB于点D,交CA的延长线于点F。
(1)∠F与∠ADF之间有什么关系？请说明理由。
(2)若点E在BC的延长线上,其余条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立？若不成立,请说明理由；若成立,请画出图形并给予证明。

答案： （1）∠F=∠ADF，理由如下：因为等腰△ABC中BC为底边，所以∠B=∠C。因为EF⊥BC，所以∠B+∠BDE=90°，∠C+∠F=90°，所以∠BDE=∠F。又因为∠ADF=∠BDE，所以∠F=∠ADF。（2）成立，证明如下：如图，因为等腰△ABC中BC为底边，所以∠B=∠ACB。又因为∠ACB=∠ECF，所以∠B=∠ECF。因为EF⊥BC，所以∠B+∠BDE=90°，∠ECF+∠F=90°，所以∠BDE=∠F，即∠F=∠ADF。

1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形。

答案： 两条边相等

2. 如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等。

答案： 边

1. 三条边都相等的三角形是等边三角形。

答案： 三条边

2. 三个角都相等的三角形是等边三角形。

答案： 三个角

3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

答案： 有一个角是60°

在直角三角形中,如果一个锐角等于 $30^{\circ}$,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

答案： 斜边的一半

例 1
如图,已知 $AD$ 平分 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle EAC$,且 $\angle EAD= \angle C$,求证：$AB = AC$。

【点拨】根据角平分线的定义可得 $\angle EAD= \angle DAC$,然后可证 $AD// BC$；再利用平行线的性质,结合等量代换证明 $\angle B= \angle C$；最后根据等角对等边可得 $AB = AC$。
此题主要考查等腰三角形的判定方法,关键是掌握“等角对等边”。

答案： 因为 $AD$ 平分 $\angle EAC$，
所以 $\angle EAD = \angle CAD$。
因为 $\angle EAD = \angle C$，
所以 $\angle C = \angle CAD$。
因为$\angle C$ 和 $\angle CAD$是同位角，
所以 $AD // BC$。
所以 $\angle EAD = \angle B$（同位角），
所以 $\angle B = \angle C$。
所以 $AB = AC$（等角对等边）。