《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

三角形的三条角平分线交于一点。

答案： 交于一点

三角形的三条高所在的直线交于一点。

答案： 所在的直线

例1
如图,已知AF,BG为△ABC的高,AD为△ABC的中线,AF= 6,BC= 12,BG= 5。
(1)求△ABD的面积；
(2)求AC的长。

【点拨】(1)先根据三角形中线的定义得到BD= CD= 6,再根据AF= 6及三角形的面积公式可得出△ABD的面积。
(2)根据三角形的面积公式,得$S_{△ABC}= \frac {1}{2}AC·BG= \frac {1}{2}BC·AF,$将BG= 5,BC= 12,AF= 6代入,计算可得AC的长。

答案：

【解】
(1)因为AD是△ABC的中线,BC= 12,

所以$BD= CD= \frac {1}{2}BC= 6。$

因为AF是△ABC的高,AF= 6,

所以$S_{△ABD}= \frac {1}{2}BD·AF$

$= \frac {1}{2}×6×6= 18。$

(2)因为AF,BG为△ABC的高,

所以$S_{△ABC}= \frac {1}{2}AC·BG= \frac {1}{2}BC·AF。$

又因为BG= 5,BC= 12,AF= 6,

所以$AC= \frac {BC·AF}{BG}= \frac {12×6}{5}= 14.4。$

如图,在直角三角形ABC中,∠ACB= 90°,CD是AB边上的高,AB= 13 cm,BC= 12 cm,AC= 5 cm。
(1)作出△ABC的AC边上的中线BE,并求△ABE的面积；
(2)作出△BCD的BC边上的高DF,当BD= 11 cm时,求DF的长。

答案：
解:
(1)如图,点E是AC的中点,连接BE,则BE是△ABC的AC边上的中线。

因为在直角三角形ABC中,∠ACB = 90°,BC = 12 cm,AC = 5 cm,
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×5×12 = 30(cm^2)$。
因为BE是△ABC的中线,
所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×30 = 15(cm^2)$。
(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F,则DF为△BCD的BC边上的高。
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD = 30 cm^2$,AB = 13 cm,
所以$\frac{1}{2}×13× CD = 30$,
所以$CD=\frac{60}{13} cm$。
因为$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CD=\frac{1}{2}BC\cdot DF$,
所以BD·CD = BC·DF。
因为BC = 12 cm,BD = 11 cm,
所以$11×\frac{60}{13}=12× DF$,
所以$DF=\frac{55}{13} cm$。