《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

例3 如图,已知点$A$,$Q在数轴上表示的数分别为1$,$-1$,$PQ垂直于数轴且PQ = 1$。以点$A$为圆心,以$AP$的长为半径画弧,交数轴于$B$,$C$两点,求$B$,$C$两点所表示的数。

【点拨】利用勾股定理列式求出$AP$,然后根据数轴写出$B$,$C$两点所表示的数即可。本题考查勾股定理、实数与数轴,主要是无理数在数轴上的表示。

答案： 由题意得，点A表示的数为1，点Q表示的数为-1，PQ垂直于数轴且PQ=1。
AQ的长度为：1 - (-1) = 2。
在直角三角形APQ中，AQ=2，PQ=1，根据勾股定理可得：
AP = $\sqrt{AQ^{2} + PQ^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$。
因为以点A为圆心，AP为半径画弧交数轴于B、C两点，所以AB=AC=AP=$\sqrt{5}$。
点A表示的数为1，所以点B在点A左侧，所表示的数为1 - $\sqrt{5}$；点C在点A右侧，所表示的数为1 + $\sqrt{5}$。
综上，点B表示的数是1 - $\sqrt{5}$，点C表示的数是1 + $\sqrt{5}$。

【变式训练3】如图,点$O$为数轴上的原点,点$A$在数轴的负半轴上,且点$A表示的数为-2$。已知$AB\perp OA$,$AB = 1$,连接$OB$,请在数轴的正半轴上画出点$C$,使得点$C表示的数为\sqrt{5}$。(保留作图痕迹,不写作法)

答案： 1. 连接OB，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
2. 以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，点C即为所求。
（作图痕迹：连接OB的线段，以O为圆心、OB为半径的圆弧，与正半轴交点C）

1. 在实数$1.414$,$\sqrt{2}$,$\pi$,$3.\dot{1}\dot{4}$,$3.1212212221…$(相邻两个$1之间2的个数逐次加1$),$2+\sqrt{3}$,$3.14$中,无理数的个数是(D)
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： D

2. 实数$a$,$b$在数轴上的位置如图所示,则$\vert a + b\vert-\vert a - b\vert$等于(A)


A.$2a$
B.$2b$
C.$2b - 2a$
D.$2b + 2a$

答案： A

3. 若$(x - 2)^{2}与\sqrt{2x - y - 3}$互为相反数,则$x + y$的值为(A)
A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$9$

答案： A

4. $\frac{1}{8}$的立方根是$\frac{1}{2}$,$\sqrt{16}$的平方根是±2。

答案： $\frac{1}{2}$ ±2

5. 在数轴上表示实数$a$的点如图所示,则化简$\sqrt{(a - 5)^{2}}+\vert a - 2\vert$的结果为3。

答案： 3

6. 计算：$(\sqrt{2}-1)^{0}+(-\frac{1}{3})^{-2}+\sqrt[3]{8}=$12。

答案： 12

7. 已知一个正数$x的两个平方根分别是2a - 1和-a + 2$。
(1)求$a和x$的值；
(2)化简：$2\vert a+\sqrt{2}\vert+\vert x - 2\sqrt{2}\vert-\vert 3a + x\vert$。

答案： 解:
(1)由题意得$2a-1+(-a+2)=0$，
解得$a=-1$,所以$x=(-2-1)^2=9$。
(2)由
(1)知$a=-1$,$x=9$，
所以$2|a+\sqrt{2}|+|x-2\sqrt{2}|-|3a+x|$
$=2(\sqrt{2}-1)+(9-2\sqrt{2})-(-3+9)$
$=1$。