《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

15. (12 分)如图,已知点 E 在 AC 上,AB = AD,BE = DE,求证：∠3 = ∠4。

答案： 证明:在$\triangle ABE$和$\triangle ADE$中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ AE=AE,\\ BE=DE,\end{array}\right.$
所以$\triangle ABE\cong \triangle ADE(SSS)$,所以$\angle 1=\angle 2$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ \angle 1=\angle 2,\\ AC=AC,\end{array}\right.$
所以$\triangle ABC\cong \triangle ADC(SAS)$,所以$\angle 3=\angle 4$。

16. (14 分)如图(1),将一个等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 置于直线 l 上,图(2)是由图(1)抽象出的几何图形,过 A,B 两点分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 D,E。
(1)△ACD 与△CBE 全等吗？说明你的理由。
(2)猜想线段 AD,BE,DE 之间的关系,并说明理由。
(3)若把两个等腰直角三角板按图(3)所示的方式放置,连接 BE,AD,AD 分别交 BE,BC 于点 F,G,猜想 AD 与 BE 有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由。

答案： 解:
(1)$\triangle ACD$与$\triangle CBE$全等。理由如下:
因为$AD\perp CD$,$BE\perp CE$,
所以$\angle ADC=\angle CEB=90°$。
又因为$\angle ACB=90°$,
所以$\angle ACD=90° -\angle ECB=\angle CBE$。
在$\triangle ACD$与$\triangle CBE$中,
$\left\{\begin{array}{l} \angle ADC=\angle CEB,\\ \angle ACD=\angle CBE,\\ AC=BC,\end{array}\right.$
所以$\triangle ACD\cong \triangle CBE(AAS)$。
(2)$AD=BE - DE$。理由如下:
因为$\triangle ACD\cong \triangle CBE$,
所以$AD=CE$,$CD=BE$,
所以$AD=CE=CD - DE=BE - DE$。
(3)$AD=BE$,$AD\perp BE$。理由如下:
因为$\angle DCE=\angle ACB=90°$,
所以$\angle DCE+\angle DCB=\angle ACB+\angle DCB$,
即$\angle BCE=\angle ACD$。
在$\triangle BCE$和$\triangle ACD$中,
$\left\{\begin{array}{l} EC=DC,\\ \angle BCE=\angle ACD,\\ BC=AC,\end{array}\right.$
所以$\triangle BCE\cong \triangle ACD(SAS)$,
所以$BE=AD$,$\angle EBC=\angle CAD$。
在$Rt\triangle ACG$中,$\angle CGA+\angle CAG=90°$,
又因为$\angle BGF=\angle CGA$,
所以$\angle BGF+\angle GBF=90°$,
所以$\angle BFG=90°$,
即$AD\perp BE$。