《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

8. 如图,数轴上$A$,$B两点表示的有理数分别为10和15$。点$P从点A$出发,以每秒$1$个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点$Q同时从原点O$出发,以每秒$2$个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为$t\ s$。

(1)当$0\lt t\lt5$时,用含$t$的式子填空：$BP= $5-t,$AQ= $10-2t；
(2)当$t = 2$时,求$PQ$的值；
当$t=2$时,P点表示的有理数为$10+2=12$，Q点表示的有理数为$2×2=4$，所以$PQ=12-4=8$。
(3)当$PQ = AB$时,求$t$的值。
t s时,P点表示的有理数为$10+t$,Q点表示的有理数为$2t$，所以$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$。因为$PQ=AB$，所以$|t-10|=5$，解得$t=15$或5。

答案： 解:
(1)当$0＜t＜5$时,P点表示的有理数为$10+t$,Q点表示的有理数为$2t$，
所以$BP=15-(10+t)=5-t$,$AQ=10-2t$。
(2)当$t=2$时,P点表示的有理数为$10+2=12$，
Q点表示的有理数为$2×2=4$，
所以$PQ=12-4=8$。
(3)t s时,P点表示的有理数为$10+t$,Q点表示的有理数为$2t$，
所以$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$。
因为$PQ=AB$，
所以$|t-10|=5$，
解得$t=15$或5。

9. 判断下列各式是否成立(成立的在括号内打“√”,不成立的在括号内打“×”)：
$\sqrt{2+\frac{2}{3}}= 2\sqrt{\frac{2}{3}}$(√)
$\sqrt{3+\frac{3}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}$(√)
$\sqrt{4+\frac{4}{15}}= 4\sqrt{\frac{4}{15}}$(√)
$\sqrt{5+\frac{5}{24}}= 5\sqrt{\frac{5}{24}}$(√)
完成上面各题之后,你发现了什么规律？请用一个关于自然数$n(n\geq2)$的等式表示这个规律。
$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\cdot\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}(n\geqslant2)$

答案： √ √ √ √
$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\cdot\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}(n\geqslant2)$

10. 阅读下面的文字,然后解答问题。
大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来。因为$\sqrt{2}的整数部分是1$,所以这个数减去其整数部分,差就是小数部分,于是小明用$\sqrt{2}-1来表示\sqrt{2}$的小数部分。又例如：
因为$\sqrt{4}\lt\sqrt{7}\lt\sqrt{9}$,即$2\lt\sqrt{7}\lt3$,所以$\sqrt{7}的整数部分为2$,小数部分为$\sqrt{7}-2$。
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是4,小数部分是$\sqrt{17}-4$；
(2)如果$\sqrt{5}的小数部分为a$,$\sqrt{13}的整数部分为b$,求$a + b-\sqrt{5}$的值；
(3)已知$10+\sqrt{3}= x + y$,其中$x$是整数,且$0\lt y\lt1$,求$x - y$的相反数。
(2)因为$4＜5＜9$，
所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{5}＜3$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{5}-2$，
即$a=\sqrt{5}-2$。
因为$9＜13＜16$，
所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$,即$3＜\sqrt{13}＜4$，
所以$\sqrt{13}$的整数部分为3,即$b=3$。
当$a=\sqrt{5}-2$,$b=3$时，
$a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$。
(3)因为$10+\sqrt{3}=x+y$,其中x是整数,且$0＜y＜1$，
所以x是$10+\sqrt{3}$的整数部分,y是$10+\sqrt{3}$的小数部分。
因为$1＜3＜4$，
所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,即$1＜\sqrt{3}＜2$，
所以$10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，
即$11＜10+\sqrt{3}＜12$，
所以$10+\sqrt{3}$的整数部分是11,小数部分是$10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$，
即$x=11$,$y=\sqrt{3}-1$。
所以$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，
所以$x-y$的相反数是$-12+\sqrt{3}$。

答案： 解:
(1)4 $\sqrt{17}-4$
(2)因为$4＜5＜9$，
所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{5}＜3$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{5}-2$，
即$a=\sqrt{5}-2$。
因为$9＜13＜16$，
所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$,即$3＜\sqrt{13}＜4$，
所以$\sqrt{13}$的整数部分为3,即$b=3$。
当$a=\sqrt{5}-2$,$b=3$时，
$a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$。
(3)因为$10+\sqrt{3}=x+y$,其中x是整数,且$0＜y＜1$，
所以x是$10+\sqrt{3}$的整数部分,y是$10+\sqrt{3}$的小数部分。
因为$1＜3＜4$，
所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,即$1＜\sqrt{3}＜2$，
所以$10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，
即$11＜10+\sqrt{3}＜12$，
所以$10+\sqrt{3}$的整数部分是11,小数部分是$10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$，
即$x=11$,$y=\sqrt{3}-1$。
所以$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，
所以$x-y$的相反数是$-12+\sqrt{3}$。