《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

8. 如图,已知点 $ D $,$ E $ 是 $ \triangle ABC $ 内的两点,且 $ \angle BAE = \angle CAD $,$ AB = AC $,$ AD = AE $。
(1)求证：$ \triangle ABD \cong \triangle ACE $；
(2)延长 $ BD $,$ CE $ 交于点 $ F $,若 $ \angle BAC = 80^{\circ} $,$ \angle ABD = 20^{\circ} $,求 $ \angle BFC $ 的度数。

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答案：
(1)证明:因为∠BAE=∠CAD，所以∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)。
(2)解:因为∠BAC=80°，所以∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°。因为△ABD≌△ACE，所以∠ABD=∠ACE=20°，所以∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB-∠ABD-∠ACE=100°-20°-20°=60°，所以∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°-60°=120°。

9. 如图,已知 $ AE $ 与 $ BD $ 相交于点 $ C $,$ AC = EC $,$ BC = DC $,$ AB = 8 cm $。点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ A \to B \to A $ 以 $ 2 cm/s $ 的速度运动；点 $ Q $ 同时从点 $ D $ 出发,沿 $ D \to E $ 以 $ 1 cm/s $ 的速度运动。当点 $ P $ 到达点 $ A $ 时,$ P $,$ Q $ 两点同时停止运动,设点 $ P $ 的运动时间为 $ t s $。

(1)当点 $ P $ 沿 $ A \to B $ 运动时,$ BP = $______；(用含 $ t $ 的代数式表示)
(2)求证：$ AB = ED $；
(3)当 $ P $,$ Q $,$ C $ 三点共线时,求 $ t $ 的值。
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(1)(8-2t)cm
(2)证明:在△ABC和△EDC中，AC=EC，∠ACB=∠ECD，BC=DC，所以△ABC≌△EDC(SAS)，所以AB=ED。
(3)解:因为△ABC≌△EDC，所以∠A=∠E，DE=AB=8 cm。因为P,Q,C三点共线，所以∠ACP=∠ECQ。在△ACP和△ECQ中，∠A=∠E，AC=EC，∠ACP=∠ECQ，所以△ACP≌△ECQ(ASA)，所以AP=EQ。根据题意得DQ=t cm，则EQ=(8-t)cm。当0≤t≤4时，AP=2t cm，所以2t=8-t，解得t=8/3；当4＜t≤8时，AP=(16-2t)cm，所以16-2t=8-t，解得t=8。综上所述，当P,Q,C三点共线时，t的值为8或8/3。

答案：
(1)解:根据题意得AP=2t cm，则BP=(8-2t)cm。
(2)证明:在△ABC和△EDC中，AC=EC，∠ACB=∠ECD，BC=DC，所以△ABC≌△EDC(SAS)，所以AB=ED。
(3)解:因为△ABC≌△EDC，所以∠A=∠E，DE=AB=8 cm。因为P,Q,C三点共线，所以∠ACP=∠ECQ。在△ACP和△ECQ中，∠A=∠E，AC=EC，∠ACP=∠ECQ，所以△ACP≌△ECQ(ASA)，所以AP=EQ。根据题意得DQ=t cm，则EQ=(8-t)cm。当0≤t≤4时，AP=2t cm，所以2t=8-t，解得t=8/3；当4＜t≤8时，AP=(16-2t)cm，所以16-2t=8-t，解得t=8。综上所述，当P,Q,C三点共线时，t的值为8或8/3。

10. 在 $ \triangle ABC $ 中,已知 $ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = BC $,直线 $ MN $ 经过点 $ C $,$ AD \perp MN $ 于点 $ D $,$ BE \perp MN $ 于点 $ E $。

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(1)当直线 $ MN $ 绕点 $ C $ 旋转到如图(1)所示的位置时,求证：① $ \triangle ADC \cong \triangle CEB $,② $ DE = AD + BE $；
(2)当直线 $ MN $ 绕点 $ C $ 旋转到如图(2)所示的位置时,求证：$ DE = AD - BE $；
(3)当直线 $ MN $ 绕点 $ C $ 旋转到如图(3)所示的位置时,$ DE $,$ AD $,$ BE $ 之间具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明。

答案：
(1)证明:①因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCE=90°。因为AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADC=∠CEB=90°，所以∠BCE+∠CBE=90°，所以∠ACD=∠CBE。在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，所以△ADC≌△CEB(AAS)。②因为△ADC≌△CEB，所以AD=CE，DC=BE，所以DE=CE+DC=AD+BE。
(2)证明:根据
(1)，同理可得∠ACD=∠CBE。在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，所以△ADC≌△CEB(AAS)。所以AD=CE，DC=BE，所以AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE。
(3)解:DE=BE-AD。易证得△ADC≌△CEB，所以AD=CE，DC=BE，所以DE=DC-CE=BE-AD。