《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

10. 在△ABC中,AB边的垂直平分线$l_1$交BC边于点D,AC边的垂直平分线$l_2$交BC边于点$E,l_1$与$l_2$相交于点O。
(1)如图(1),当∠B= ∠C= 25°时,求∠DAE的度数；
(2)如图(2),已知AB≠AC,且90°≤∠BAC＜180°。
①若∠BAC= 120°,求∠DAE的度数；
②当AD⊥AE时,求∠BAC的度数；
(3)如图(3),连接OA,OB,OC,若△ADE的周长为9cm,△OBC的周长为21cm,求BC,OB的长。

答案： 解:
(1)因为AB边的垂直平分线$l_1$交BC边于点D,所以DA=DB,所以∠BAD=∠B。同理,∠EAC=∠C,故∠BAD+∠EAC=∠B+∠C=25°+25°=50°。因为∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-50°=130°,所以∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=130°-50°=80°。
(2)①因为AB边的垂直平分线$l_1$交BC边于点D,所以DA=DB,所以∠BAD=∠B。同理,∠EAC=∠C,所以∠BAD+∠EAC=∠B+∠C。因为∠BAC=120°,所以∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-120°=60°,所以∠BAD+∠EAC=60°,所以∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=120°-60°=60°。②当AD⊥AE时,∠DAE=90°。因为AB边的垂直平分线$l_1$交BC边于点D,所以DA=DB,所以∠BAD=∠B。同理,∠EAC=∠C,所以∠BAD+∠EAC=∠B+∠C。因为∠BAD+∠EAC+∠B+∠C+∠DAE=180°,所以∠BAD+∠EAC= $\frac{1}{2}$×(180°-90°)=45°,所以∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠EAC=90°+45°=135°。
(3)因为$l_1$是AB的垂直平分线,所以DA=DB,OB=OA。同理,EA=EC,OC=OA。所以DA+DE+EA=BD+DE+EC=BC。因为△ADE的周长是9 cm,所以BC=9 cm。因为△OBC的周长是21 cm,所以OB+OC+BC=21 cm,所以OB+OC=21 cm-9 cm=12 cm,所以OB=OC=6 cm。

角是轴对称图形,______角平分线所在的直线是它的对称轴。

答案： 轴对称 角平分线

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

答案： 点 角的两边 距离

例 1 如图,已知 $ OA $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线,$ OM \perp AC $ 于点 $ M $,$ ON \perp AB $ 于点 $ N $。若 $ ON = 8 cm $,则 $ OM $ 的长为(C)

A.$ 4 cm $
B.$ 5 cm $
C.$ 8 cm $
D.$ 20 cm $

答案： C

【点拨】本题考查角平分线的性质,掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键。

【解】因为 $ OA $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线,$ OM \perp AC $,$ ON \perp AB $,

所以 $ OM = ON = 8 cm $。