《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

【变式训练 1】小明利用全等三角形知识测量保温杯的壁厚时,用“X 型转动钳”按如图所示的方法进行测量,其中 OA = OD,OB = OC,测得 AB = 7 cm,EF = 8 cm。小明很快就计算出保温杯的壁厚,请你帮助小明写出完整的解答过程。

答案： 解:在△AOB和△DOC中,
OA=OD,
∠AOB=∠DOC,
OB=OC,
所以△AOB≌△DOC(SAS),
所以AB=CD=7 cm。
因为EF=8 cm,
所以保温杯的壁厚为$\frac{8-7}{2}=0.5$(cm)。

例 2 如图,在池塘岸边 A,B 两处各有一棵柳树,试设计测量 A,B 间的距离的方案,并说明理由。

【点拨】通过构造全等三角形的方法测量无法直接达到的两点间的距离,可根据 SAS 构造全等三角形,也可根据 ASA 构造全等三角形。

答案：
【解】方法一：如图,在池塘外找一点 C,使 C 点能直接到达 A,B 两点。连接 AC 并延长 AC 到 A',使 A'C = AC,连接 BC 并延长 BC 到 B',使 B'C = BC,则 A',B'之间的距离 A'B'就是 A,B 之间的距离。

理由：在△ABC 和△A'B'C'中,
$\left\{ \begin{array}{l} AC = A'C, \\ ∠ACB = ∠A'CB', \\ BC = B'C, \end{array} \right. $
所以△ABC ≌ △A'B'C(SAS),所以 AB = A'B'(全等三角形的对应边相等)。
方法二：如图,在 AB 的垂线上取 C,D 两点,使 BC = CD；过点 D 作 BD 的垂线 DF,在 DF 上找一点 E,使 A,C,E 三点在一条直线上,则 DE 的长度就是 AB 的长度。
理由：在△ABC 和△EDC 中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠ABC = ∠EDC, \\ BC = DC, \\ ∠ACB = ∠ECD, \end{array} \right. $
所以△ABC ≌ △EDC(ASA),所以 AB = DE(全等三角形的对应边相等)。