《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

4. 如图,已知 $ \angle AOB $,作射线 $ OC $,使 $ OC $ 平分 $ \angle AOB $,作图的合理顺序是②③①。
①作射线 $ OC $；②以点 $ O $ 为圆心、任意长为半径作弧,分别交 $ OA $,$ OB $ 于点 $ D $,$ E $；③分别以点 $ D $,$ E $ 为圆心,以大于 $ \frac{1}{2} DE $ 的长为半径作弧,两弧在 $ \angle AOB $ 内交于点 $ C $。

答案： ②③①

5. 如图,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 中 $ \angle BAC $ 的平分线,$ DE \perp AB $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,$ DF \perp AC $ 交 $ AC $ 于点 $ F $。若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 7 $,$ DE = 2 $,$ AB = 4 $,则 $ AC = $3。

答案： 3

6. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle A = 90^{\circ} $,$ AD = 4 $,连接 $ BD $,$ BD \perp CD $,$ \angle ADB = \angle C $。若点 $ P $ 是 $ BC $ 边上的动点,则 $ DP $ 的最小值为4。

答案： 4

7. 如图,$ AC $,$ AB $ 是两条笔直的交叉公路,$ M $,$ N $ 是两个车站。欲在 $ \angle BAC $ 内部建一个加油站 $ P $,使加油站到公路两边的距离相等,且离 $ M $,$ N $ 两个车站的距离也相等,则此加油站 $ P $ 应建在何处？(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法。)

答案：
解:如图,点 P 就是所求的点。

8. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $,$ DE \perp AB $ 于点 $ D $。如果 $ AC = 3 cm $,求 $ AE + DE $ 的值。

答案： 解：因为∠ACB=90°, BE 平分∠ABC, DE⊥AB,
所以 DE=EC,
所以 AE+DE=AE+EC=AC=3 cm。

9. 如图,点 $ D $ 为锐角 $ \angle ABC $ 的平分线上的点,点 $ M $ 在 $ BA $ 边上,点 $ N $ 在 $ BC $ 边上,且 $ \angle BMD + \angle BND = 180^{\circ} $,求证：$ DM = DN $。

答案：
解:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,作 DF⊥BC 于点 F,
则∠DEB=∠DFB=90°。

又因为 BD 平分∠ABC,
所以 DE=DF。
因为∠BMD+∠DME=180°,
∠BMD+∠BND=180°,
所以∠DME=∠BND。
在△EMD 和△FND 中,
∠DEM=∠DFN,
∠DME=∠FND,
DE=DF,
所以△EMD≌△FND(AAS),
所以 DM=DN。