《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

例 2 如图,$\triangle ABC$ 中,点 $D$ 是 $BC$ 上的一点。已知 $AB = 10$,$BD = 6$,$AD = 8$,$AC = 17$,求 $\triangle ABC$ 的面积。

【点拨】 此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理,关键是利用勾股定理的逆定理证明 $\triangle ABD$ 是直角三角形。根据 $AB = 10$,$BD = 6$,$AD = 8$,利用勾股定理的逆定理证明 $\triangle ABD$ 是直角三角形,然后利用勾股定理求出 $CD$ 的长,最后利用三角形面积公式即可得出答案。

答案： 因为$BD^{2}+AD^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64=100=10^{2}=AB^{2}$，所以$\triangle ABD$是直角三角形，$\angle ADB = 90^{\circ}$，即$AD\perp BC$。
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理得$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=17^{2}-8^{2}=289 - 64=225=15^{2}$，所以$CD = 15$。
$BC=BD + CD=6 + 15=21$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}×21×8=84$。
$\triangle ABC$的面积为$84$。

【变式训练 2】 如图,已知 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 中 $BC$ 边上的中线,$BC = 10\mathrm{cm}$,$AC = 4\mathrm{cm}$,$AD = 3\mathrm{cm}$,求 $\triangle ABC$ 的面积。

答案：
解:因为AD是BC边上的中线,BC=10cm,
所以CD=5cm。
因为$3^{2}+4^{2}=5^{2}$,所以$AD^{2}+AC^{2}=CD^{2}$,
所以△ACD是直角三角形。
如图,过点A作AE⊥BC于点E,
则$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot AC=\frac{1}{2}CD\cdot AE$,
所以$AE=\frac{AD\cdot AC}{CD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}(cm)$,
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=\frac{1}{2}×10×\frac{12}{5}=12(cm^{2})$。

1. 若 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $5$,$12$,$13$,则 $\triangle ABC$ 的面积是(A)
A.$30$
B.$40$
C.$50$
D.$60$

答案： A

2. 已知三角形的三边长分别为 $n$,$n + 1$,$m$(其中 $m^{2}= 2n + 1$),则此三角形(C)
A.一定是等边三角形
B.一定是等腰三角形
C.一定是直角三角形
D.形状无法确定

答案： C

3. 下列四组数中,不是勾股数的是(D)
A.$a = 15$,$b = 8$,$c = 17$
B.$a = 9$,$b = 12$,$c = 15$
C.$a = 7$,$b = 24$,$c = 25$
D.$a = 3$,$b = 5$,$c = 7$

答案： D

4. 如图,已知 $\angle ADC = 90^{\circ}$,$AD = 8\mathrm{m}$,$CD = 6\mathrm{m}$,$BC = 24\mathrm{m}$,$AB = 26\mathrm{m}$,则图中阴影部分的面积为$96m^{2}$。

答案： $96m^{2}$

5. 已知 $\triangle ABC$ 中 $\angle A$,$\angle B$,$\angle C$ 的对边分别是 $a$,$b$ 和 $c$,给出下面五组条件：
① $\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$；
② $a:b:c = 3:4:5$；
③ $2\angle A= \angle B+\angle C$；
④ $a^{2}-b^{2}= c^{2}$；
⑤ $a = 6$,$b = 8$,$c = 13$。
其中能独立判定 $\triangle ABC$ 是直角三角形的是①②④。(请写出所有正确的序号)

答案： ①②④