《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

6. 如图,在△ABC中,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,分别交BC于点E,G,连接AE,AG。若BC= 8,则△AEG的周长为8。

答案： 8

7. 如图,在△ABC中,AB= AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E。
(1)若∠A= 40°,求∠DBC的度数；
(2)若AB= 12,△CBD的周长为20,求△ABC的周长。

答案： 解:
(1)在△ABC中,因为AB=AC,∠A=40°,所以∠ABC=∠C= $\frac{1}{2}$×(180°-∠A)=70°。因为DE是AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以∠ABD=∠A=40°,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°。
(2)因为△CBD的周长为20,所以BD+DC+BC=20。因为AD=BD,所以AD+DC+BC=AC+BC=20。又因为AB=12,所以△ABC的周长是AB+BC+AC=12+20=32。

8. 如图,在△ABC中,120°＜∠BAC＜180°,直线AD为BC边的垂直平分线,以AC为边作等边△ACE,△ACE与△ABC在直线AC的异侧,直线BE交DA的延长线于点F,连接FC交AE于点M。

(1)求证：∠FEA= ∠FBA；
(2)求∠EFC的度数。

答案：
(1)证明:因为AD为BC边的垂直平分线,所以AB=AC。因为△ACE为等边三角形,所以AC=AE,所以AB=AE,所以∠FEA=∠FBA。
(2)解:因为直线AD垂直平分BC,所以AB=AC,FB=FC,所以∠ABC=∠ACB,∠FBC=∠FCB,所以∠FBC-∠ABC=∠FCB-∠ACB,即∠ABE=∠ACF。由
(1)知∠ABE=∠AEF,所以∠AEF=∠ACF。又因为∠FME=∠CMA,所以∠EFC=∠CAE。因为等边△ACE中,∠CAE=60°,所以∠EFC=60°。

9. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD= DE。
(1)若∠C= 40°,求∠BAD的度数；
(2)若AC= 5,DC= 4,求△ABC的周长。

答案： 解:
(1)因为EF垂直平分AC,所以AE=CE,所以∠C=∠EAC=40°。因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以∠DAC=90°-∠C=90°-40°=50°。在△ABD和△AED中, $\begin{cases} AD=AD, \\ ∠ADB=∠ADE, \\ BD=DE, \end{cases}$所以△ABD≌△AED(SAS),所以∠BAD=∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-40°=10°。
(2)由
(1)知AE=CE=AB。又因为BD=DE,所以AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC,所以△ABC的周长为AB+BC+AC=2DC+AC=2×4+5=13。