《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

例 1 如图,在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 中,边 $BC$ 与边 $B'C'$ 上的中线分别为 $AD$ 与 $A'D'$,$AB = A'B'$,$BC = B'C'$,$AD = A'D'$,求证：$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$。

【点拨】 先证明 $\triangle ABD \cong \triangle A'B'D'(SSS)$,推出 $\angle B = \angle B'$,再根据 $SAS$ 证明 $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$。

答案：

【解】 因为 $AD$,$A'D'$ 分别是 $\triangle ABC$,$\triangle A'B'C'$ 的中线,

所以 $BD = \frac{1}{2}BC$,$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$。

又因为 $BC = B'C'$,

所以 $BD = B'D'$。

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle A'B'D'$ 中,

$\begin{cases}AB = A'B', \\AD = A'D', \\BD = B'D',\end{cases} $

所以 $\triangle ABD \cong \triangle A'B'D'(SSS)$,

所以 $\angle B = \angle B'$。

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中,

$\begin{cases}AB = A'B', \\\angle B = \angle B', \\BC = B'C',\end{cases} $

所以 $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'(SAS)$。

【变式训练 1】 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB // CD$,点 $E$,$F$ 在对角线 $BD$ 上,$BE = EF = FD$,$\angle BAF = \angle DCE = 90^{\circ}$,则 $\triangle ABF \cong \triangle CDE$ 吗？请说明理由。

答案： 解:△ABF≌△CDE,理由如下:
因为AB//CD,
所以∠ABF=∠CDE。
因为BE=EF=FD,
所以BE+EF=DF+EF,
即BF=DE。
在△ABF和△CDE中,∠BAF=∠CDE,
∠ABF=∠CDE,
BF=DE,
所以△ABF≌△CDE(AAS)。