《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

4. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$AD = 5$,$AD// BC$。以点 $B$ 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交 $BA$,$BC$ 于点 $P$,$Q$；再分别以 $P$,$Q$ 为圆心,以大于 $\frac{1}{2}PQ$ 的长为半径作弧,两弧在 $\angle ABC$ 内交于点 $M$；连接 $BM$ 并延长,交 $AD$ 于点 $E$,则 $DE$ 的长为2。

答案： 2

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$BD$ 和 $CD$ 分别平分 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$,过点 $D$ 作 $EF// BC$,分别交 $AB$,$AC$ 于点 $E$,$F$。若 $BE = 2$,$CF = 3$,则线段 $EF$ 的长为5。

答案： 5

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 60^{\circ}$,在 $\triangle ABC$ 的内部取一点 $O$,连接 $OA$,$OB$,$OC$,使 $OA = OC$,$\angle OBA = 20^{\circ}$,$\angle OCA = 40^{\circ}$。已知下列说法：① $\angle BOA = 140^{\circ}$；② $\triangle OAB$ 是等腰三角形；③ $\angle OBC = 30^{\circ}$；④ $\triangle OBC$ 是等腰三角形；⑤ $\triangle ABC$ 是等边三角形。其中说法正确的是①②③④。(填序号)

答案： ①②③④

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,点 $D$ 是 $AB$ 上一点,过点 $D$ 作 $DE\perp BC$ 于点 $E$,并与 $CA$ 的延长线相交于点 $F$,试判断 $\triangle ADF$ 的形状,并说明理由。

答案： 解:△ADF是等腰三角形。
理由:在△ABC中,因为AB=AC,
所以∠B=∠C。
因为DE⊥BC,
所以∠DEB=∠DEC=90°,
所以∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,
所以∠BDE=∠F。
又因为∠BDE=∠ADF,所以∠ADF=∠F,
所以AF=AD,所以△ADF是等腰三角形。

8. 如图,点 $E$ 在 $\triangle ABC$ 的边 $AC$ 的延长线上,点 $D$ 在 $AB$ 边上,$DE$ 交 $BC$ 于点 $F$。已知 $DF = EF$,$BD = CE$,求证：$\triangle ABC$ 是等腰三角形。

答案：
证明:如图,过点D作DG//AC,交BC于点G。

因为DG//AC,
所以∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB。
在△GDF和△CEF中,∠GDF=∠E,
DF=EF,
∠DFG=∠EFC,
所以△GDF≌△CEF(ASA),
所以GD=CE。
又因为BD=CE,
所以BD=GD,
所以∠B=∠DGB=∠ACB,
所以△ABC是等腰三角形。