《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,点 $ E $ 是线段 $ AD $ 上的点,且 $ AD = BD $,$ DE = DC $,求证：$ \angle C = \angle BED $。

答案： 证明:因为AD⊥BC，所以∠ADC=∠BDE=90°。在△ACD和△BED中，AD=BD，∠ADC=∠BDE，DC=DE，所以△ACD≌△BED(SAS)，所以∠C=∠BED。

例 2
如图,已知点 $ A $,$ F $,$ C $,$ D $ 在一条直线上,$ AB // DE $,$ AB = DE $,$ AF = DC $,求证：$ BC // EF $。

【点拨】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识,关键是正确寻找三角形全等的条件,再由 $ SAS $ 证明 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $,则由全等三角形的性质得 $ \angle ACB = \angle DFE $,从而证得结论。

答案： 证明：
∵AB//DE，
∴∠A=∠D。
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
∴∠ACB=∠DFE。
∴BC//EF。

如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 中,$ AB = AD $,$ AC = AE $,$ \angle 1 = \angle 2 $,$ AD $,$ BC $ 相交于点 $ F $。
(1)求证：$ \angle B = \angle D $；
(2)若 $ AB // DE $,$ \angle D = 40^{\circ} $,求 $ \angle AFB $ 的度数。

答案：
(1)证明:因为∠1=∠2，所以∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠CAB=∠EAD。在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠CAB=∠EAD，AC=AE，所以△ABC≌△ADE(SAS)，所以∠B=∠D。
(2)解:因为AB//DE，所以∠1=∠D=40°。由
(1)知∠B=∠D=40°，所以∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-40°-40°=100°。