《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

一般地,如果一个正数$x$ 的平方等于 $a$,即$x^{2}=a$,那么这个正数 $x$ 就叫作 $a$ 的算术平方根,记作 $\sqrt{a}$,读作“根号 $a$”。
特别地,我们规定：$0$ 的算术平方根是 $0$,即 $\sqrt{0}= 0$。

答案： 正数 $x^{2}=a$

当 $a \geq 0$ 时,$\sqrt{a^2} = $$a$,$(\sqrt{a})^2 = $______$a$；
当 $a ＜ 0$ 时,$\sqrt{a^2} = $$-a$。

答案： $a$ $a$ $-a$

例 1 求下列各数的算术平方根：
(1) $400$；(2) $4$；(3) $\frac{36}{49}$；(4) $\sqrt{256}$。
【点拨】因为求一个非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的,所以我们可以借助平方运算求这些数的算术平方根。

答案：
(1)
因为$20^{2}=400$，
所以$400$的算术平方根是$20$，
即$\sqrt{400}=20$。
(2)
因为$2^{2}=4$，
所以$4$的算术平方根是$2$，
即$\sqrt{4}=2$。
(3)
因为$(\frac{6}{7})^{2}=\frac{36}{49}$，
所以$\frac{36}{49}$的算术平方根是$\frac{6}{7}$，
即$\sqrt{\frac{36}{49}}=\frac{6}{7}$。
(4)
因为$16^{2}=256$，则$\sqrt{256}=16$，
又因为$4^{2}=16$，
所以$16$的算术平方根是$4$，
即$\sqrt{256}$的算术平方根是$4$。

【变式训练 1】求下列各数的算术平方根：
(1) $81$；(2) $0.64$；(3) $\frac{9}{16}$；(4) $(-2)^2$；(5) $1\frac{24}{25}$。

答案： 解:
(1)因为$9^{2}=81$,所以$\sqrt{81}=9$。
(2)因为$0.8^{2}=0.64$,所以$\sqrt{0.64}=0.8$。
(3)因为$\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$,所以$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(4)因为$2^{2}=4$,所以$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$。
(5)因为$\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}$,所以$\sqrt{1\frac{24}{25}}=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$。

例 2 物体由静止自由下落时,物体下落的距离 $h$(单位：$m$)与下落时间 $t$(单位：$s$)的关系可用公式 $h = 4.9t^2$ 表示。
(1) 把这个公式变形成用 $h$ 表示 $t$ 的公式；
(2) 一只山羊不慎跌入 $176.4m$ 深的峡谷,则它落到峡谷底经过了多长时间？
【点拨】算术平方根在实际生活中有很多应用,解决问题时应先根据题目要求,对公式进行适当变形,再利用算术平方根的概念解答。

答案：
(1) 因为 $h = 4.9t^2$，
所以 $t^2 = \frac{h}{4.9}$，
即 $t = \sqrt{\frac{h}{4.9}}$（$t \geq 0$）。
(2) 将 $h = 176.4$ 代入 $t = \sqrt{\frac{h}{4.9}}$，
得 $t = \sqrt{\frac{176.4}{4.9}} = \sqrt{36}$，
所以 $t = 6$。
即它跌落到峡谷底经过了 $6 \, s$。