《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$ 是 $BC$ 的中点,点 $M$,$N$ 分别在 $AB$,$AC$ 上,且 $\angle MDN = 90^{\circ}$,延长 $MD$ 到点 $E$,使 $MD = DE$,连接 $CE$,$EN$,已知 $BM^{2}+CN^{2}= DM^{2}+DN^{2}$。
(1) 求证：$MN = EN$；
(2) 求证：$\triangle ABC$ 为直角三角形。

答案： 证明:
(1)因为MD=DE,∠MDN=90°,
所以直线ND垂直平分ME,
所以MN=EN。
(2)因为点D是BC的中点,
所以BD=CD。
在△BDM和△CDE中,
$\begin{cases} DM=DE, \\ ∠MDB=∠CDE, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以△BDM≌△CDE(SAS),
所以BM=CE,∠B=∠DCE。
在Rt△MDN中,由勾股定理得
$DM^{2}+DN^{2}=MN^{2}=EN^{2}$。
又因为$BM^{2}+CN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$,
所以$CE^{2}+CN^{2}=EN^{2}$,
所以∠NCE=90°。
所以∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠B=90°,
所以∠A=90°,
所以△ABC为直角三角形。

例1 如图是一个三级台阶,每一级的长、宽、高分别为$20dm$,$3dm$,$2dm$,$A和B$是这个台阶上两个相对的端点。点$A$处有一只蚂蚁,想到点$B$处吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶表面爬行到点$B$的最短路程为多少？

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【点拨】 先将立体图形展开,再由勾股定理,根据两点之间线段最短进行解答。
本题是最短路径问题,解答此类问题,要先根据题意把立体图形展开成平面图形,然后确定两点之间的最短路径。一般情况是两点之间线段最短,在平面图形上构造直角三角形解决问题。

答案：
将三级台阶的表面展开，得到一个长方形，其长为20dm，宽为$(2 + 3)×3 = 15dm$。
蚂蚁从A点沿台阶表面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长。

设最短路程为$x$dm，由勾股定理得：
$x^{2}=20^{2}+15^{2}$
$x^{2}=400 + 225$
$x^{2}=625$
$x = 25$
答：蚂蚁沿着台阶表面爬到点B的最短路程为25dm。