《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

庆庆家附近有一条东西走向的公路 $ (AB) $,一天一辆宣传车从这条路上经过。如图,在监测中心 $ A $ 处测得这辆宣传车从 $ B $ 点开始沿 $ AB $ 所在直线由东向西运动,已知点 $ C $ 为庆庆家的位置,点 $ C $ 与监测中心 $ A $ 的距离 $ (AC) $ 为 $ 400 \, m $,与这辆宣传车的起始位置 $ B $ 的距离 $ (BC) $ 为 $ 300 \, m $,且 $ \angle ACB = 90^{\circ} $。过点 $ C $ 作 $ CD \perp AB $ 于点 $ D $,以这辆宣传车为圆心,半径为 $ 260 \, m $ 的圆形区域内都能听到宣传车的声音。
(1) 求监测点 $ A $ 与宣传车的起始位置 $ B $ 之间的距离；
(2) 若这辆宣传车的行驶速度为 $ 25 \, m/min $,则在庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？

答案：
解:
(1)在Rt△ABC中,BC=300m,AC=400m,∠ACB=90°,所以AB²=AC²+BC²=400²+300²=500²,所以AB=500m。
(2)因为∠ACB=90°,CD⊥AB,所以S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD,所以400×300=500CD,所以CD=240m。因为以宣传车为圆心，半径为260m的圆形区域内都能听到宣传车的声音，所以在庆庆家C会听到宣传车的声音。
如图，以点C为圆心，以260m长为半径作弧，交AB于点E,F,则CE=CF=260m,此时正好影响C。
在Rt△CDE中，由勾股定理得ED²=CE² - CD²=260² - 240²=100²,所以ED=100m,所以EF=200m。
因为宣传车的速度为25m/min,所以t=200÷25=8(min),所以在庆庆家能听到宣传车声音的时间为8min。

1.如图，有一个圆柱形水杯，盖子圆心处插有吸管。已知水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长25cm(底端在杯底)。设露在水杯外面的习惯长度为acm，则a的最小值为(    )

A.11
B.12
C.13
D.14

答案： B

2. 如图,一棵直立的大树在一次强台风中被吹断,折断处离地面 $ 2 \, m $,倒下部分与地面成 $ 30^{\circ} $ 角,则这棵树折断前的高度为(D)

A.$ (2 + 2\sqrt{2}) \, m $
B.$ (2 + 2\sqrt{3}) \, m $
C.$ 4 \, m $
D.$ 6 \, m $

答案： D

3. 如图,某自动感应门的正上方 $ A $ 处有一个感应器,离地高度 $ AB = 2.1 \, m $。当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开。一个身高 $ 1.6 \, m $ 的学生 $ CD $ 正对门,缓慢走到离门 $ 1.2 \, m $ 的地方时 $ (BC = 1.2 \, m) $,感应门自动打开,则此学生头顶离感应器的距离 $ AD $ 等于(B)

A.$ 1.2 \, m $
B.$ 1.3 \, m $
C.$ 1.5 \, m $
D.$ 2 \, m $

答案： B