《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

如果三角形的三边长 $a$,$b$,$c$ 满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,那么这个三角形是直角三角形。

答案： $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

满足 $a^{2}+b^{2}= c^{2}$ 的三个正整数,称为勾股数。

答案： 正整数

例 1 如图,已知等腰 $\triangle ABC$ 的底边 $BC = 20\mathrm{cm}$,点 $D$ 是腰 $AB$ 上一点,且 $CD = 16\mathrm{cm}$,$BD = 12\mathrm{cm}$。

(1) 求证：$CD\perp AB$；
(2) 求该等腰三角形的腰的长度。
【点拨】 (1) 依据勾股定理的逆定理可得 $\angle BDC = 90^{\circ}$,从而得到 $CD\perp AB$。
(2) 设腰长为 $x\mathrm{cm}$,则 $AD= (x - 12)\mathrm{cm}$。由(1)可知 $AD^{2}+CD^{2}= AC^{2}$,解方程 $(x - 12)^{2}+16^{2}= x^{2}$,即可求得腰长。
本题主要考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 $a$,$b$,$c$ 满足 $a^{2}+b^{2}= c^{2}$,那么这个三角形是直角三角形。

答案：
(1) 因为 $BC=20\mathrm{cm}$，$CD=16\mathrm{cm}$，$BD=12\mathrm{cm}$，所以 $BD^{2}+CD^{2}=12^{2}+16^{2}=144 + 256=400$，$BC^{2}=20^{2}=400$，即 $BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，所以 $\angle BDC=90^{\circ}$，故 $CD\perp AB$。
(2) 设等腰三角形的腰长为 $x\mathrm{cm}$，则 $AD=(x - 12)\mathrm{cm}$。在 $\mathrm{Rt}\triangle ADC$ 中，由勾股定理得 $AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，即 $(x - 12)^{2}+16^{2}=x^{2}$，展开得 $x^{2}-24x + 144 + 256=x^{2}$，化简得 $-24x + 400=0$，解得 $x=\frac{50}{3}$。所以该等腰三角形的腰长为 $\frac{50}{3}\mathrm{cm}$。

【变式训练 1】 如图,已知 $\angle ADC = 90^{\circ}$,$AD = 4\mathrm{m}$,$CD = 3\mathrm{m}$,$AB = 13\mathrm{m}$,$BC = 12\mathrm{m}$。
(1) 试判断以点 $A$,$B$,$C$ 为顶点的三角形的形状,并说明理由；
(2) 求该图形的面积。

答案：
解:
(1)以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形。理由如下:
如图，连接AC。

因为∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,
所以在Rt△ADC中,根据勾股定理得
$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=4^{2}+3^{2}$,
解得AC=5m。
又因为AB=13m,BC=12m,
所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,
所以∠ACB=90°,
即以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形。
(2)图形的面积$S=S_{\triangle ACB}-S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AC× BC-\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=24(m^{2})$。