《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

7. 如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高,AE= 2 cm,$S_{△ABD}= 8 cm^2,$求BC的长。

答案： 解:因为AE是△ABC的高,
所以AE⊥BC,
所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AE$。
因为AE = 2 cm,$S_{\triangle ABD}=8 cm^2$,
所以BD = 8 cm。
因为AD是△ABC的中线,
所以BC = 2BD = 16 cm。

8. 如图,已知四边形ABCD是边长为10的正方形,四边形ECGF是边长为a的正方形,点G在线段CD上,连接AE,EG。
(1)用含a的代数式表示△ABE的面积；
(2)用含a的代数式表示阴影部分的面积S,并求当a= 8时,阴影部分的面积S。

答案： 解:
(1)$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×10×(10 + a)=(5a + 50) cm^2$。
(2)$S = 10×10+\frac{1}{2}a^2-(5a + 50)=(\frac{1}{2}a^2-5a + 50) cm^2$。
当a = 8时,$S=\frac{1}{2}a^2-5a + 50=\frac{1}{2}×8^2-5×8 + 50 = 42(cm^2)$。

9. 如图,在△ABC中,AE,CD是△ABC的两条高,AB= 6,CD= 3。

(1)请画出AE,CD；
(2)求△ABC的面积；
(3)若AE= 4,求BC的长。

答案：
解:
(1)如图所示,AE,CD即为所求。

(2)因为CD是△ABC的高,AB = 6,CD = 3,
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}×6×3 = 9$。
(3)因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}BC\cdot AE = 9$,
所以$\frac{1}{2}BC×4 = 9$,
所以BC = 4.5。

10. 如图,在Rt△ABC中,已知∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为点D。
(1)求证：∠A= ∠BCD；
(2)若AC= 3,BC= 4,AB= 5,求CD的长。

答案：
(1)证明:因为∠ACB = 90°,
所以∠ACD + ∠BCD = 90°。
因为CD⊥AB,
所以∠ADC = 90°,所以∠A + ∠ACD = 90°,
所以∠A = ∠BCD。
(2)解:因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}BC\cdot AC$,
所以$CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。