《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

例1
如图,已知$DE = CA$,$AB // DE$,$∠ECB = 70^{\circ}$,$∠D = 110^{\circ}$,求证：$\triangle ABC \cong \triangle EAD$。

【点拨】本题是证明三角形全等的基础题型,有些条件需要证明时,应先证明,再把条件用大括号列出来,根据三角形全等的判定定理证明即可。由$∠ECB = 70^{\circ}得∠ACB = 110^{\circ}$,再由$AB // DE证得∠CAB = ∠E$,最后结合已知条件$DE = CA$,利用$ASA证明\triangle ABC \cong \triangle EAD$。

答案： 证明：
∵∠ECB=70°，
∴∠ACB=180°-∠ECB=110°。
∵∠D=110°，
∴∠ACB=∠D。
∵AB//DE，
∴∠CAB=∠E。
在△ABC和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ACB=∠D,\\CA=DE,\\∠CAB=∠E,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△EAD（ASA）。

【变式训练1】如图,$AD是\triangle ABC$的中线,点$E$,$F分别是AD和AD$延长线上的点,且$CE // BF$,则$\triangle ECD与\triangle FBD$全等吗？请说明你的理由。

答案： 解:△ECD与△FBD全等,理由如下:
因为AD是△ABC的中线,
所以BD=CD。
因为CE//BF,
所以∠DCE=∠DBF。
在△ECD和△FBD中,
∠DCE=∠DBF,
CD=BD,
∠CDE=∠BDF,
所以△ECD≌△FBD(ASA)。

例2
如图,已知点$D是\triangle ABC的边AB$上一点,$DF交AC于点E$,且$DE = EF$,$FC // AB$。若$BD = 2$,$CF = 5$,求$AB$的长。

【点拨】本题考查三角形全等的判定定理$AAS$的应用,熟练掌握三角形全等的判定定理是关键。

答案： 因为 $FC // AB$，
所以$\angle A = \angle FCE$，$\angle ADE = \angle F$，
在$\triangle ADE$与$\triangle CFE$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle A = \angle FCE, \\\angle ADE = \angle F, \\DE = EF.\end{array}\right.$
所以$\triangle ADE \cong \triangle CFE (AAS)$，
所以$AD = CF$，
因为$CF = 5$，$BD = 2$，
所以$AB = AD + BD = 5 + 2 = 7$。
综上，$AB$的长为$7$。