《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

2. 实数可以分为有理数和无理数,还可以分为正实数、零和负实数。

答案： 正实数 零 负实数

1. 在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

答案： 相反数 倒数 绝对值

2. 实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。

答案： 运算法则与运算律

事实上,每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说,实数和数轴上的点是一一对应的。

答案： 一一对应

例1 把下列各数填入相应的集合中：
$3\frac{1}{2}$,$\sqrt[3]{-8}$,$0$,$\sqrt{27}$,$\pi$,$0.5$,$3.1415$,$-0.020020002$,$0.2121121112…$(相邻两个$2之间1的个数逐次加1$)。
(1)有理数：…$\{$3\frac{1}{2},\sqrt[3]{-8},0,0.5,3.1415,-0.020020002$\}$；
(2)无理数：…$\{\sqrt{27},\pi,0.2121121112…($相邻两个$2$之间$1$的个数逐次加$1)\}$；
(3)正实数：…$\{3\frac{1}{2},\sqrt{27},\pi,0.5,3.1415,0.2121121112…($相邻两个$2$之间$1$的个数逐次加$1)\}$；
(4)负实数：…$\{$\sqrt[3]{-8},-0.020020002$\}$。

答案：
(1)有理数：$\{3\frac{1}{2},\sqrt[3]{-8},0,0.5,3.1415,-0.020020002\}$；
(2)无理数：$\{\sqrt{27},\pi,0.2121121112…($相邻两个$2$之间$1$的个数逐次加$1)\}$；
(3)正实数：$\{3\frac{1}{2},\sqrt{27},\pi,0.5,3.1415,0.2121121112…($相邻两个$2$之间$1$的个数逐次加$1)\}$；
(4)负实数：$\{\sqrt[3]{-8},-0.020020002\}$。

【变式训练1】将下列各数填入相应的集合中：
$-7$,$0$,$\frac{22}{7}$,$-2.555555…$,$3.01$,$+9$,$4.2020020002…$(相邻两个$2之间0的个数逐次加1$),$+10\%$,$-\frac{\pi}{2}$。
(1)无理数集合：…$\{$4.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1),$-\frac{\pi}{2}$$\}$；
(2)负有理数集合：…$\{$$-7$,$-2.555555…$$\}$；
(3)正分数集合：…$\{$$\frac{22}{7}$,$3.01$,$+10\%$$\}$；
(4)非负整数集合：…$\{$$0$,$+9$$\}$。

答案： 解:
(1)无理数集合:{4.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数逐次加1),$-\frac{\pi}{2}$,…};
(2)负有理数集合:{-7,-2.555 555,…};
(3)正分数集合:{$\frac{22}{7}$,3.01,+10%,…};
(4)非负整数集合:{0,+9,…}。

例2 已知$x$,$y$为实数,且$\vert x - 8\vert与\sqrt{2y + 2}$互为相反数,求$\sqrt[3]{xy}+\sqrt{-\frac{x}{2y}}$的值。
【点拨】本题主要考查相反数的定义,根据符号不同的两个数互为相反数,$0的相反数是0$,得出$\vert x - 8\vert = 0$,$\sqrt{2y + 2} = 0$是解题的关键。

答案： 因为$\vert x - 8\vert$与$\sqrt{2y + 2}$互为相反数，
所以$\vert x - 8\vert + \sqrt{2y + 2} = 0$。
由于绝对值和平方根均为非负数，故有：
$\vert x - 8\vert = 0$，$\sqrt{2y + 2} = 0$。
解得：
$x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$，
$2y + 2 = 0 \Rightarrow y = -1$。
将$x = 8$，$y = -1$代入$\sqrt[3]{xy} + \sqrt{-\frac{x}{2y}}$，得：
$\sqrt[3]{8 × (-1)} + \sqrt{-\frac{8}{2 × (-1)}} = \sqrt[3]{-8} + \sqrt{4} = -2 + 2 = 0$。
故答案为$0$。

【变式训练2】已知$\sqrt[3]{1 - 3b}与\sqrt[3]{2a + 1}$互为相反数,求$3 - 6a + 9b$的平方根。

答案： 解:因为$\sqrt[3]{1-3b}$与$\sqrt[3]{2a+1}$互为相反数，
所以$\sqrt[3]{1-3b}+\sqrt[3]{2a+1}=0$。
所以$\sqrt[3]{1-3b}=-\sqrt[3]{2a+1}$，
所以$1-3b=-(2a+1)$，
所以$-2a+3b=2$。
所以$3-6a+9b=3+3(-2a+3b)$
$=3+3×2=9$。
因为9的平方根是±3，
所以$3-6a+9b$的平方根是±3。