《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

10. 已知实数 $a$,$b$ 满足 $\sqrt{a - 3} + |b - 4| = 0$。
(1) 求 $a$,$b$ 的值；
(2) 求 $a^2 + b^2$ 的算术平方根。

答案： 解:
(1)由题意得$a-3=0$,$b-4=0$,解得$a=3$,$b=4$。
(2)$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

一般地,如果一个数 $ x $ 的平方等于 $ a $,即$x^{2}=a$,那么这个数 $ x $ 就叫作 $ a $ 的平方根,也叫作二次方根。

答案： 平方 $x^{2}=a$

一个正数有两个平方根；$ 0 $ 只有一个平方根,它是 $ 0 $ 本身；负数没有平方根。

答案： 正数 负数

求一个数 $ a $ 的平方根的运算,叫作开平方,$ a $ 叫作被开方数。

答案： 平方根

例 1 判断下列说法是否正确：
(1) $ 1 $ 的平方根是 $ 1 $；
(2) $ -16 $ 的平方根是 $ \pm 4 $；
(3) $ \pm 3 $ 的平方根是 $ 9 $；
(4) $ \sqrt{81} = \pm 9 $；
(5) $ -7 $ 是 $ 49 $ 的平方根；
(6) $ \sqrt{16} $ 的平方根是 $ \pm 4 $。
【点拨】熟记算术平方根和平方根的定义是解题的关键。

答案：
(1)不正确。
因为正数$1$的平方根有两个，为$\pm 1$，而不只是$1$。
(2)不正确。
因为负数$-16$没有平方根。
(3)不正确。
因为$\pm 3$的平方是$9$，而不是平方根是$9$，说法颠倒。
(4)不正确。
因为$\sqrt{81}$表示$81$的算术平方根，根据定义，它是一个正数。因此，$\sqrt{81} = 9$，而不是$\pm 9$。
(5)正确。
因为$(-7)^2 = 49$，根据平方根的定义，$-7$是$49$的一个平方根。
(6)不正确。
因为$\sqrt{16} = 4$，然后求$\sqrt{16}$的平方根即求$4$的平方根，根据平方根的定义，$4$的平方根是$\pm 2$。

【变式训练 1】下列说法中错误的是(C)
A.$ \frac{1}{2} $ 是 $ 0.25 $ 的一个平方根
B.正数 $ a $ 的两个平方根的和为 $ 0 $
C.$ \frac{9}{16} $ 的平方根是 $ \frac{3}{4} $
D.当 $ x \neq 0 $ 时,$ -x^2 $ 没有平方根

答案： C

例 2 求下列各数的平方根：
(1) $ 0.64 $；
(2) $ \frac{25}{64} $；
(3) $ 0 $；
(4) $ (-1\frac{5}{4})^2 $。
【点拨】运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法。要习惯用符号语言表示一个非负数的平方根,这对加深理解平方根的概念和性质有好处。

答案：

【解】
(1)因为 $ (\pm 0.8)^2 = 0.64 $,

所以 $ 0.64 $ 的平方根是 $ \pm 0.8 $,

即 $ \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8 $。

(2)因为 $ (\pm \frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64} $,

所以 $ \frac{25}{64} $ 的平方根是 $ \pm \frac{5}{8} $,

即 $ \pm \sqrt{\frac{25}{64}} = \pm \frac{5}{8} $。

(3)因为 $ 0^2 = 0 $,

所以 $ 0 $ 的平方根是 $ 0 $,即 $ \pm \sqrt{0} = 0 $。

(4)因为 $ (-1\frac{5}{4})^2 = (-\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16} $,

而 $ (\pm \frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16} $,

所以 $ (-1\frac{5}{4})^2 $ 的平方根是 $ \pm \frac{9}{4} $,

即 $ \pm \sqrt{(-1\frac{5}{4})^2} = \pm \frac{9}{4} $。

【变式训练 2】求下列各数的平方根：
(1) $ 0.49 $；
(2) $ 1\frac{9}{16} $；
(3) $ (-5)^2 $；
(4) $ 225 $；
(5) $ 0.01 $。

答案： 解:
(1)0.49的平方根是±0.7。
(2)$1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$,它的平方根是$\pm \frac{5}{4}$。
(3)$(-5)^{2}=25$,它的平方根是±5。
(4)225的平方根是±15。
(5)0.01的平方根是±0.1。