《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

14. （12 分）如图，已知△ADB≌△ADC，点 E 是边 AC 上一点，连接 DE，若 AB // DE，求证：△ADE 是等腰三角形。

答案： 证明:因为$\triangle ADB \cong \triangle ADC$,所以$\angle BAD = \angle CAD$。因为$AB // DE$,所以$\angle BAD = \angle EDA$,所以$\angle EDA = \angle CAD$,所以$AE = DE$,所以$\triangle ADE$是等腰三角形。

15. （12 分）如图，点 C 是线段 AB 上除点 A，B 外的任意一点，分别以 AC，BC 为边在线段 AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接 AE 交 DC 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，连接 MN。求证：
（1）AE = BD；
（2）MN // AB。

答案： 证明:
(1)因为$\triangle ACD$和$\triangle BCE$是等边三角形,所以$AC = DC$,$CE = CB$,$\angle DCA = 60°$,$\angle ECB = 60°$。所以$\angle DCA+\angle DCE=\angle ECB+\angle DCE$,即$\angle ACE = \angle DCB$。在$\triangle ACE$和$\triangle DCB$中,$\left\{\begin{array}{l} AC = DC,\\ \angle ACE=\angle DCB,\\ CE = CB,\end{array}\right.$所以$\triangle ACE \cong \triangle DCB(SAS)$,所以$AE = BD$。
(2)由
(1)得$\triangle ACE \cong \triangle DCB$,所以$\angle CAM=\angle CDN$。因为$\angle ACD = \angle ECB=60°$,且A,C,B三点共线,所以$\angle DCN = 60°$。在$\triangle ACM$和$\triangle DCN$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle CAM=\angle CDN,\\ AC = DC,\\ \angle ACM=\angle DCN,\end{array}\right.$所以$\triangle ACM \cong \triangle DCN(ASA)$,所以$MC = NC$。又因为$\angle MCN = 60°$,所以$\triangle MCN$为等边三角形,所以$\angle NMC=\angle DCA = 60°$,所以$MN // AB$。

16. （14 分）在△ABC 中，已知∠A = 90°，AB = AC，点 D 为 BC 的中点。
（1）如图（1），若点 E，F 分别为 AB，AC 上的点，且 DE⊥DF，求证：BE = AF；
（2）如果点 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，且 DE⊥DF，那么 BE = AF 还成立吗？请利用图（2）说明理由。

答案：

(1)证明:如图,连接AD。 因为$\angle A = 90°$,$AB = AC$,所以$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$\angle EBD = 45°$。因为点D为BC的中点,所以$AD \perp BC$,所以$\angle ABD=\angle BAD=\angle C=\angle FAD = 45°$,所以$AD = BD$。因为$DE \perp DF$,所以$\angle EDA+\angle ADF = 90°$。又因为$\angle BDE+\angle EDA = 90°$,所以$\angle BDE=\angle ADF$。在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle EBD=\angle FAD,\\ BD = AD,\\ \angle BDE=\angle ADF,\end{array}\right.$所以$\triangle BDE \cong \triangle ADF(ASA)$,所以$BE = AF$。
(2)解:$BE = AF$,理由如下:如图,连接AD。 因为$\angle ABD=\angle BAD = 45°$,所以$\angle EBD=\angle FAD = 135°$。因为$\angle EDB+\angle BDF = 90°$,$\angle BDF+\angle FDA = 90°$,所以$\angle EDB=\angle FDA$。在$\triangle EDB$和$\triangle FDA$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle EBD=\angle FAD,\\ BD = AD,\\ \angle EDB=\angle FDA,\end{array}\right.$所以$\triangle EDB \cong \triangle FDA(ASA)$,所以$BE = AF$。