《2025年同步练习册山东科学技术出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

7. 计算：
(1)在 $\triangle ABC$ 中,已知 $\angle B = 2\angle A$,$\angle C = \angle A + 40^{\circ}$,求 $\angle A$；
(2)在 $\triangle ABC$ 中,已知 $\angle A = 90^{\circ}$,$\angle B-\angle C = 20^{\circ}$,求 $\angle C$。

答案：
(1)因为∠B=2∠A,∠C=∠A+40°,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+2∠A+∠A+40°=180°,所以∠A=35°。
(2)因为∠A=90°,所以∠B+∠C=90°,所以∠B=90°-∠C。又因为∠B-∠C=20°,所以∠C=35°。

8. 请把下面的证明过程补充完整。
如图,已知 $AD\perp BC$ 于点 $D$,点 $E$ 在 $AC$ 上,点 $G$ 在 $AB$ 上,$\angle 2 + \angle C = 90^{\circ}$,$\angle 1 = \angle 2$,求证：$GD// AC$。

证明：因为 $AD\perp BC$,
所以 $\angle ADC = 90^{\circ}$(垂直的意义),
所以 $\angle 3 + \angle C = 90^{\circ}$(直角三角形的两个锐角互余)。
又因为 $\angle 2 + \angle C = 90^{\circ}$(已知),
所以$\angle 2 = \angle 3$(同角的余角相等)。
又因为 $\angle 1 = \angle 2$(已知),
所以 $\angle 1 = \angle 3$(等量代换),
所以 $GD// AC$(内错角相等,两直线平行)。

答案： 垂直的意义 ∠2=∠3 同角的余角相等 等量代换 内错角相等,两直线平行

9. 定义：在一个三角形中,如果一个角是另一个角的 $\dfrac{1}{2}$,那么我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫作“友爱三角形”。例如：在 $\triangle ABC$ 中,如果 $\angle A = 80^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,那么 $\angle A$ 与 $\angle B$ 互为“友爱角”,$\triangle ABC$ 是“友爱三角形”。
如图,已知 $\triangle ABC$ 是“友爱三角形”,且 $\angle A$ 与 $\angle B$ 互为“友爱角”($\angle A ＞ \angle B$),$\angle ACB = 90^{\circ}$。
(1)求 $\angle A$,$\angle B$ 的度数。
(2)若 $CD\perp AB$ 于点 $D$,则 $\triangle ACD$,$\triangle BCD$ 都是“友爱三角形”吗？为什么？

答案：
(1)因为∠A与∠B互为“友爱角”,且∠A＞∠B,所以∠B=12∠A,所以∠A=2∠B。在△ABC中,因为∠ACB=90°,所以∠A+∠B=90°,所以2∠B+∠B=90°,所以∠B=30°,所以∠A=2∠B=60°。
(2)△ACD,△BCD都是“友爱三角形”,理由如下:因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°。在Rt△ACD中,因为∠A=60°,所以∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°,所以∠ACD=12∠A,所以∠ACD与∠A互为“友爱角”,所以△ACD是“友爱三角形”。在Rt△BCD中,因为∠B=30°,所以∠BCD=90°-∠B=90°-30°=60°,所以∠B=12∠BCD,所以∠BCD与∠B互为“友爱角”,所以△BCD是“友爱三角形”。