《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

9. 一个三位数除以它的各位数字之和,余数最大是______.

答案： 24
解析：设三位数为100a+10b+c，各位和s=a+b+c，余数r=s-1需三位数+1=ks，s≤27，最大r=24（如799÷25=31…24）。

10. 已知(x+1)⁶=ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g,当x=1时,(1+1)⁶=a×1⁶+b×1⁵+c×1⁴+d×1³+e×1²+f×1+g,故a+b+c+d+e+f+g=2⁶=64.这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法.请你巧用赋值法,尝试解答下列问题:
(1)当x为多少时,可求出g的值？这个值为多少？
(2)求a-b+c-d+e-f+g的值；
(3)求a+c+e的值.

答案：
(1)x=0，g=1
解析：令x=0，得(0+1)⁶=g→g=1。
(2)0
解析：令x=-1，得(-1+1)⁶=a-b+c-d+e-f+g→0=a-b+c-d+e-f+g。
(3)31
解析：a+b+c+d+e+f+g=64，a-b+c-d+e-f+g=0，两式相加得2(a+c+e+g)=64→a+c+e+g=32，g=1，故a+c+e=31。

11. 如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC上一点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)如图1,若点E是边BC的中点,求证:AE=EF；
(2)如图2,若点E是边BC上任意一点,其他条件不变,求证:AE=EF；
(3)如图3,若点E是BC延长线上的任意一点,其他条件不变,求证:AE=EF.

答案：
(1)证明：取AB中点G，连接GE，AG=BG=BE=EC，∠AGE=135°=∠ECF，∠GAE=∠CEF（同角余角），△AGE≌△ECF（ASA），AE=EF。
(2)证明：在AB上截取AG=EC，连接GE，AG=EC，BG=BE，∠AGE=135°=∠ECF，∠GAE=∠CEF，△AGE≌△ECF（ASA），AE=EF。
(3)证明：在BA延长线上截取AG=CE，连接GE，AG=CE，BG=BE，∠AGE=45°=∠ECF，∠GAE=∠CEF（同角余角），△AGE≌△ECF（ASA），AE=EF。