《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

8. 如图,在△ABC中,D是边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DF=DE.求证:∠B=∠C.

答案： 证明：
∵D是BC中点，
∴BD=CD。
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DFB=∠DEC=90°。
在Rt△DFB和Rt△DEC中，DF=DE，BD=CD，
∴Rt△DFB≌Rt△DEC（HL）。
∴∠B=∠C。

9. 在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB长度的取值范围是___.

答案： 9＜AB＜19
解析：延长AD至E，使DE=AD=7，连接BE。
∵AD是中线，
∴BD=CD。在△ADC和△EDB中，AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS）。
∴BE=AC=5。在△ABE中，AE=14，BE=5，
∴AE-BE＜AB＜AE+BE，即14-5＜AB＜14+5，9＜AB＜19。

10. 如图,AD//BC,AB=AD+BC,AE平分∠DAB,BE平分∠CBA,点F在AB上,且AF=AD.若AE=5,BE=4,则四边形ABCD的面积为___.

答案： 20
解析：在AB上截取AF=AD，连接EF。
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠FAE。在△ADE和△AFE中，AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE（SAS）。
同理可证△BCE≌△BFE（SAS）。
∴∠AEF=∠AED，∠BEF=∠BEC，故∠AEB=∠AEF+∠BEF=1/2×180°=90°。
S△AEB=1/2×AE×BE=1/2×5×4=10，
∴S四边形ABCD=2S△AEB=20。

11. 如图,D是△ABC的边BC上一点且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.求证:∠C=∠BAE.

答案： 证明：
∵∠BDA=∠BAD，
∴AB=BD。又CD=AB，
∴BD=CD，设AB=BD=CD=a。
延长AE至F，使EF=AE，连接DF。
∵AE是中线，
∴BE=DE。
在△ABE和△FDE中，BE=DE，∠AEB=∠FED，AE=FE，
∴△ABE≌△FDE（SAS）。
∴∠BAE=∠F，AB=DF=a。
∵DF=CD=a，∠ADF=∠ADC（∠ADB=∠BAD=∠FDE），AD=AD，
∴△ADF≌△ADC（SAS）。
∴∠C=∠F=∠BAE。

12. 如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC边于点D.求证:AC=AB+BD.

答案： 证明：在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD。在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD=DE，∠B=∠AED=2∠C。
∵∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=∠C，DE=EC。
∴AC=AE+EC=AB+BD。