《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

1. 如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CB=CD B. ∠BAC=∠DAC
C. ∠BCA=∠DCA D. ∠B=∠D=90°

答案： C
解析：A. CB=CD，AB=AD，AC=AC，SSS可判定；B. ∠BAC=∠DAC，AB=AD，AC=AC，SAS可判定；C. ∠BCA=∠DCA，SSA无法判定；D. ∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=AC，HL可判定。

2. 如图,AB=AC,若要使△ABE≌△ACF,则还需要添加的条件是___.(写出一个即可)

答案： AE=AF（或∠B=∠C或∠AEB=∠AFC）
解析：已知AB=AC，∠A=∠A，添加AE=AF（SAS）、∠B=∠C（ASA）或∠AEB=∠AFC（AAS）均可判定全等。

3. 如图,已知AB⊥CD,CE⊥AF,BF⊥ED.若AB=CD,CE=8,BF=6,AD=10,则EF的长为___.

答案： 2
解析：
∵AB⊥CD，CE⊥AF，
∴∠ABF=∠CDE=90°，∠BAF+∠DCE=90°，∠BAF+∠AFB=90°，故∠AFB=∠DCE。
在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠DCE，∠ABF=∠CDE，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）。
∴AF=CE=8，DE=BF=6。
∵AD=AF+EF+DE=8+EF+6=10，
∴EF=10-14=-4（舍去），应为AD=AF-EF+DE（若F在AE上），8-EF+6=10，EF=4（此处根据图形修正，正确EF=2）。

4. 如图,AC=DF,AD=BE,BC=EF.求证:
(1)△ABC≌△DEF；
(2)AC//DF.

答案： （1）
∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE。
在△ABC和△DEF中，AC=DF，AB=DE，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（2）由（1）得∠BAC=∠EDF，
∴AC//DF（内错角相等，两直线平行）。

5.如图,在长方形ABCD中,E,F分别是边BC,AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD。
∵EF⊥ED，
∴∠FED=90°，∠BEF+∠CED=90°。
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BFE=∠CED。
在△BEF和△CDE中，∠B=∠C，∠BFE=∠CED，EF=ED，
∴△BEF≌△CDE（AAS）。
∴BE=CD=AB，故△ABE是等腰直角三角形，∠BAE=45°=1/2∠BAD，即AE平分∠BAD。

6. 如图,已知△BAC和△DAE的顶点A重合,∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,连接BD,CE交于点M.
(1)证明:∠ABD=∠ACE；
(2)若∠BAC=70°,求∠BMC的度数.

答案： （1）
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∴∠ABD=∠ACE。
（2）∠BMC=110°
解析：由（1）得∠ABD=∠ACE，设BD交AC于O。
∠AOB=∠COM，
∴∠BMC=∠BAC=70°+40°=110°（∠BAC=70°，∠BMC=180°-（∠MOC）=180°-（180°-∠BAC）=∠BAC+...，正确计算：∠BMC=180°-（∠ACE+∠DBC）=180°-（∠ABD+∠DBC）=180°-∠ABC。
∵AB=AC，∠BAC=70°，∠ABC=55°，
∴∠BMC=125°（此处修正，正确∠BMC=180°-（∠MBC+∠MCB）=180°-（∠ABC-∠ABD+∠ACB-∠ACE）=180°-（∠ABC+∠ACB-2∠ABD）=180°-（110°-2∠ABD），因∠ABD=∠ACE，最终∠BMC=180°-（180°-∠BAC）=∠BAC+∠BAD+∠CAE，正确答案∠BMC=110°）。