《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

9. 已知一个角的两边与另一个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍小36°，则这两个角的度数分别是________.

答案： 36°，36°或72°，108°
解析：设一个角为x，则另一个角为2x - 36°，若两角相等，则x = 2x - 36°，解得x = 36°；若两角互补，则x + 2x - 36° = 180°，解得x = 72°，2x - 36° = 108°，故这两个角的度数分别是36°，36°或72°，108°

10. 如图，直线l₁//l₂，∠A = 125°，∠B = 105°，则∠1 + ∠2 = ________度.

答案： 50
解析：过点A作l₁的平行线，过点B作l₂的平行线，由平行线性质得∠1 = 180° - 125° = 55°，∠2 = 180° - 105° = 75°，∠1 + ∠2 = 55° + 75° - 90° = 50°

11. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为点F.
(1)CD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1 = ∠2，且∠3 = 65°，求∠ACB的度数.

答案：
(1)平行，理由：
∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴∠CDB = ∠EFB = 90°（垂直定义），
∴CD//EF（同位角相等，两直线平行）；
(2)65°，解析：
∵CD//EF（已证），
∴∠2 = ∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1 = ∠2（已知），
∴∠1 = ∠BCD（等量代换），
∴DG//BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠3 = ∠ACB（两直线平行，同位角相等），
∵∠3 = 65°（已知），
∴∠ACB = 65°

12. (1)如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC + ∠ACM = 90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)如图2，∠M = 90°且AB与CD的位置关系保持(1)中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，G为线段AC上一定点，H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持(1)中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外），∠CGH + ∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由.

答案：
(1)AB//CD，理由：
∵AM平分∠BAC，CM平分∠ACD（已知），
∴∠BAC = 2∠MAC，∠ACD = 2∠ACM（角平分线定义），
∵∠MAC + ∠ACM = 90°（已知），
∴∠BAC + ∠ACD = 2(∠MAC + ∠ACM) = 180°（等式性质），
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）；
(2)∠BAM + ∠MCD = 90°，理由：过点M作ME//AB，
∵AB//CD，
∴ME//CD，∠BAM = ∠AME，∠MCD = ∠CME，
∵∠M = 90°，
∴∠AME + ∠CME = 90°，
∴∠BAM + ∠MCD = 90°；
(3)∠CGH + ∠CHG = ∠BAC，理由：
∵AB//CD，
∴∠BAC + ∠ACD = 180°，在△CGH中，∠CGH + ∠CHG + ∠ACD = 180°，
∴∠CGH + ∠CHG = ∠BAC