《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

11. 如图,AD=AE,AB=AC,BD,CE相交于点O.求证:OD=OE.
第11题图

答案： 证明：在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，BD=CE。又∠DOB=∠EOC，
∴△DOB≌△EOC（AAS），
∴OD=OE。

12. 如图,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,BE⊥AC,垂足为G,AB=CF,BE=AC.
（1）求证:AE=AF；
（2）AE与AF有何位置关系？请说明理由.
第12题图

答案： （1）证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠F=90°。在Rt△ABE和Rt△FCA中，BE=AC，AB=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△FCA（HL），
∴AE=AF；
（2）解：AE⊥AF。理由：由（1）知Rt△ABE≌Rt△FCA，
∴∠EAB=∠FCA。
∵∠FCA+∠CAF=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，即∠EAF=90°，
∴AE⊥AF。

13. 如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,若∠1=20°,∠3=50°,则∠2=______.
第13题图

答案： 30°
解析：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠2。
∵∠3=∠1+∠ABD，
∴50°=20°+∠2，
∴∠2=30°。

14. 如图,点D为等边三角形ABC内的一点,BD=AD,BE=AB,∠DBE=∠DBC,则∠BED的度数为______.
第14题图

答案： 30°
解析：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°。
∵BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，又AC=BC，
∴CD平分∠ACB，∠DBC=30°。
∵BE=AB=BC，∠DBE=∠DBC，BD=BD，
∴△DBE≌△DBC（SAS），
∴∠BED=∠BCD=30°。

15. 如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,且C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.有下列四个结论:①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD,其中正确的结论是______.(填序号)
第15题图

答案： ①②③
解析：①
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，正确；②∠ABD=∠ACE，∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+∠ACE，∠DBC+∠BCE=90°，
∴BD⊥CE，正确；③由②知正确；④BE=√(AB²+AE²)=√(AC²+AD²)≠AC+AD，错误。故正确结论是①②③。

16. 如图,点B在线段AE上,∠CAE=∠DAE,∠CBE=∠DBE.求证:EC=ED.
第16题图

答案： 证明：在△ABC和△ABD中，∠CAB=∠DAB，AB=AB，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
∴AC=AD。在△ACE和△ADE中，AC=AD，∠CAE=∠DAE，AE=AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴EC=ED。