《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

5. 已知3×9ᵐ×27ᵐ=3²¹，求m的值.

答案： 4
解析：9ᵐ=3²ᵐ，27ᵐ=3³ᵐ，原式=3×3²ᵐ×3³ᵐ=3¹⁺⁵ᵐ=3²¹，故1+5m=21，解得m=4.

6. 若2²·16ⁿ=(2²)⁹，解关于x的方程nx+4=2.

答案： x=-1/2
解析：16ⁿ=2⁴ⁿ，原式=2²·2⁴ⁿ=2²⁺⁴ⁿ=2¹⁸，故2+4n=18，解得n=4. 方程为4x+4=2，4x=-2，x=-1/2.

7. 已知9ⁿ⁺¹-3²ⁿ=72，求n的值.

答案： 2
解析：9ⁿ⁺¹=3²⁽ⁿ⁺¹⁾=9×3²ⁿ，设3²ⁿ=t，则原式=9t-t=8t=72，t=9，即3²ⁿ=3²，2n=2，n=2.

8. 已知kᵃ=4，kᵇ=6，kᶜ=9，2ᵇ⁺ᶜ·3ᵇ⁺ᶜ=6ᵃ⁻²，求9ᵃ÷27ᵇ的值.

答案： 2/27
解析：2ᵇ⁺ᶜ·3ᵇ⁺ᶜ=(2×3)ᵇ⁺ᶜ=6ᵇ⁺ᶜ=6ᵃ⁻²，故b+c=a-2. 9ᵃ=(3²)ᵃ=4²=16，27ᵇ=(3³)ᵇ=6³=216，9ᵃ÷27ᵇ=16/216=2/27.

9. 阅读材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J. Napier,1550～1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（L. Euler,1707～1783年）才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地，如果aˣ=N(a＞0,a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作：x=logₐN. 比如指数式2⁴=16可以转化为4=log₂16，对数式2=log₅25可以转化为5²=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：logₐ(M·N)=logₐM+logₐN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)，理由如下：
设logₐM=m，logₐN=n，则M=aᵐ，N=aⁿ，
∴M·N=aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ，
由对数的定义得m+n=logₐ(M·N)，
又∵m+n=logₐM+logₐN，
∴logₐ(M·N)=logₐM+logₐN.
解决问题：
(1)将指数式4³=64转化为对数式： ；
(2)证明：logₐ(M/N)=logₐM - logₐN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)；
(3)计算：log₃2 + log₃6 - log₃4.

答案：
(1)3=log₄64
解析：由对数定义可得.
(2)证明：设logₐM=m，logₐN=n，则M=aᵐ，N=aⁿ，M/N=aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ，由对数定义得logₐ(M/N)=m-n=logₐM - logₐN.
(3)1
解析：log₃2 + log₃6 - log₃4=log₃(2×6÷4)=log₃3=1.