《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

11. 如图，已知△ABC中，AB=AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O。
(1) 求证：OB=OC；
(2) 若∠ABC=50°，求∠BOC的度数。

答案：
(1) 证明：AB=AC，∠ABC=∠ACB。BD、CE为高，∠BDC=∠CEB=90°，BC=CB，△BDC≌△CEB(AAS)，∠DBC=∠ECB，OB=OC；
(2) 100°
解析：∠ABC=50°，∠A=180°-2×50°=80°。∠BOC=180°-∠A=100°（四边形AEOD内角和360°，∠AEO=∠ADO=90°）。

12. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°，求∠ACB和∠BAC的度数。

答案： ∠ACB=70°，∠BAC=40°
解析：设∠ACB=2x，则∠ABC=2x，∠BAC=180°-4x。AD平分∠BAC，∠DAC=90°-2x；CD平分∠ACB，∠ACD=x。在△ADC中，90°-2x+x+125°=180°，x=35°，∠ACB=70°，∠BAC=40°。

13. 若等腰三角形一腰上的中线将周长分成21cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底边长为______。

答案： 8cm或16cm
解析：设腰长2x，底长y。①2x+x=21，x+y=15，x=7，y=8；②2x+x=15，x+y=21，x=5，y=16。两种情况均满足三角形三边关系，底边长8cm或16cm。

14. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角的度数为______。

答案： 30°或150°
解析：高在三角形内时，顶角=90°-60°=30°；高在三角形外时，顶角=90°+60°=150°。

15. 如图，第1个△A₁BC中，∠B=30°，A₁B=CB；在边A₁B上任取一点D，延长CA₁到点A₂，使A₁A₂=A₁D，得到第2个△A₁A₂D；在边A₂D上任取一点E，延长A₁A₂到点A₃，使A₂A₃=A₂E，得到第3个△A₂A₃E，……，按此做法继续下去，则第n个三角形中以Aₙ为顶点的内角度数是______。

答案： (75/2ⁿ⁻¹)°
解析：第1个△A₁BC，∠BA₁C=(180°-30°)/2=75°。第2个顶角=75°/2，第3个=75°/4，…，第n个=75°/2ⁿ⁻¹。

16. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，点E在AC上，且AE=AD。
(1) 如图1，若∠BAD=30°，则∠EDC=______；
(2) 如图2，若∠BAD=40°，则∠EDC=______；
(3) 思考：由(1)(2)你发现∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？请给予证明。

答案：
(1) 30°；
(2) 40°；
(3) ∠EDC=∠BAD
解析：
(1) ∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=60°。AD=AE，∠ADE=60°，∠EDC=90°-60°=30°；
(2) ∠BAD=40°，∠BAC=80°，∠C=50°。AD=AE，∠ADE=50°，∠EDC=90°-50°=40°；
(3) 设∠BAD=α，∠BAC=2α，∠C=90°-α。AD=AE，∠ADE=90°-α，∠EDC=90°-(90°-α)=α=∠BAD。