《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

8. 乘法公式的探究及应用.
(1)如图1,阴影部分的面积是\_\_\_\_;(写成两数平方差的形式)
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是\_\_\_\_,长是\_\_\_\_,面积是\_\_\_\_(写成多项式乘法的形式);
(3)比较图1、图2两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式:\_\_\_\_;(用含a、b的式子表示)
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①$(n+1-m)(n+1+m);$
②$1003×997.$

答案：
(1)$a^2 - b^2$；
(2)$a - b$，$a + b$，$(a + b)(a - b)$；
(3)$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$；
(4)①$n^2 + 2n + 1 - m^2$，②999991
解析：
(1)图1阴影为大正方形减小正方形，面积$a^2 - b^2$。
(2)拼成矩形宽为$a - b$，长为$a + b$，面积$(a + b)(a - b)$。
(3)面积相等得$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$。
(4)①原式$=[(n + 1) - m][(n + 1) + m]=(n + 1)^2 - m^2=n^2 + 2n + 1 - m^2$；②原式$=(1000 + 3)(1000 - 3)=1000^2 - 3^2=1000000 - 9=999991$。

9. 若$(2a+1+2b)(2a-1+2b)=63$,则$a+b=$\_\_\_\_.

答案： ±4
解析：原式$=[(2a + 2b) + 1][(2a + 2b) - 1]=(2(a + b))^2 - 1=4(a + b)^2 - 1=63$，则$4(a + b)^2=64$，$(a + b)^2=16$，故$a + b=±4$。

10. 已知$3^{24}-1$可以被在20~30之间的两个整数整除,则这两个数是\_\_\_\_.

答案： 26，28
解析：$3^{24}-1=(3^{12}-1)(3^{12}+1)=(3^6 - 1)(3^6 + 1)(3^{12}+1)=728×730×...$，$728=26×28$，26和28在20~30之间。

11. 计算:
(1)$112^{2}-113×111;$

答案： 1
解析：原式$=112^2 - (112 + 1)(112 - 1)=112^2 - (112^2 - 1)=1$。

(2)$(x-y+z)^{2}-(x+y-z)^{2};$

答案： $4xz - 4xy$
解析：原式$=[(x - y + z)-(x + y - z)][(x - y + z)+(x + y - z)]=(-2y + 2z)(2x)=4x(z - y)=4xz - 4xy$。

(3)$\frac {50^{2}}{48^{2}+52^{2}-8}.$

答案： $\frac{1}{2}$
解析：分母$=48^2 + 52^2 - 8=(50 - 2)^2 + (50 + 2)^2 - 8=2500 - 200 + 4 + 2500 + 200 + 4 - 8=5000$，原式$=\frac{2500}{5000}=\frac{1}{2}$。

12. 计算:
(1)$(1-\frac {1}{2^{2}})(1-\frac {1}{3^{2}})(1-\frac {1}{4^{2}})(1-\frac {1}{5^{2}})...(1-\frac {1}{2024^{2}})(1-\frac {1}{2025^{2}});$

答案： $\frac{1013}{2025}$
解析：原式$=(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})...(1 - \frac{1}{2025})(1 + \frac{1}{2025})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×...×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}=\frac{1013}{2025}$。

(2)$(1+\frac {1}{2})(1+\frac {1}{2^{2}})(1+\frac {1}{2^{4}})(1+\frac {1}{2^{8}})+\frac {1}{2^{15}}.$

答案： 2
解析：设$S=(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{8})(1 + \frac{1}{16})=1 - \frac{1}{32}$，原式$=2S + \frac{1}{32}=2(1 - \frac{1}{32}) + \frac{1}{32}=2 - \frac{1}{32} + \frac{1}{32}=2$。