《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

9. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle A = 104^{\circ}-\angle2$，$\angle ABC = 76^{\circ}+\angle2$，$BD\perp CD$于点$D$，$EF\perp CD$于点$F$。试说明：$\angle1=\angle2$。

答案： 见解析
解析：$\because\angle A+\angle ABC=(104^{\circ}-\angle2)+(76^{\circ}+\angle2)=180^{\circ}$，$\therefore AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。$\therefore\angle1=\angle DBC$（两直线平行，内错角相等）。$\because BD\perp CD$，$EF\perp CD$，$\therefore BD// EF$（垂直于同一直线的两直线平行）。$\therefore\angle2=\angle DBC$（两直线平行，同位角相等）。$\therefore\angle1=\angle2$。

10. 如图，已知$\angle1=\angle2$，$\angle C=\angle D$，求证：$\angle A=\angle F$。

答案： 见解析
解析：$\because\angle1=\angle2$，$\angle2=\angle3$（对顶角相等），$\therefore\angle1=\angle3$，$\therefore BD// CE$（同位角相等，两直线平行）。$\therefore\angle C=\angle ABD$（两直线平行，同位角相等）。$\because\angle C=\angle D$，$\therefore\angle ABD=\angle D$，$\therefore AC// DF$（内错角相等，两直线平行）。$\therefore\angle A=\angle F$（两直线平行，内错角相等）。

11. 如图，$E$为$DF$上的点，$B$为$AC$上的点，$\angle1=\angle2$，$\angle C=\angle D$。试说明：$AC// DF$。

答案： 见解析
解析：$\because\angle1=\angle2$，$\angle2=\angle4$（对顶角相等），$\therefore\angle1=\angle4$，$\therefore BD// CE$（同位角相等，两直线平行）。$\therefore\angle C=\angle ABD$（两直线平行，同位角相等）。$\because\angle C=\angle D$，$\therefore\angle ABD=\angle D$，$\therefore AC// DF$（内错角相等，两直线平行）。

12. 如图，已知$AB// CD$，$\angle BEF = 50^{\circ}$，那么$\angle B+\angle F+\angle D=$_________。

答案： 230°
解析：过$E$作$EM// AB$，过$F$作$FN// AB$。$\angle B=\angle BEM = 50^{\circ}$，$\angle MEF = 180^{\circ}-\angle BEF = 130^{\circ}$。$\angle EFN=\angle MEF = 130^{\circ}$，$\angle NFD = 180^{\circ}-\angle D$。$\angle B+\angle F+\angle D=50^{\circ}+(130^{\circ}+180^{\circ}-\angle D)+\angle D=230^{\circ}$。

13. 如图，已知 $AB// CD$，$F$ 为 $CD$ 上一点，$\angle EFD = 60^{\circ}$，$\angle AEC = 3\angle CEF$。若$\angle BAE = 16^{\circ}$，则$\angle C$的度数为_________。

答案： 56°
解析：设$\angle CEF = x$，则$\angle AEC = 3x$，$\angle AEF = 4x$。$\because AB// CD$，$\angle BAE=\angle AEF = 16^{\circ}$（两直线平行，内错角相等），$\therefore4x = 16^{\circ}$，$x = 4^{\circ}$。$\angle C=\angle EFD-\angle CEF = 60^{\circ}-4^{\circ}=56^{\circ}$。

14. 如图，已知$AB// CD$，$AE$和$CF$分别平分$\angle BAF$和$\angle DCE$，若$\angle AEC = 57^{\circ}$，$\angle AFC = 63^{\circ}$，则$\angle BAF$的度数为_________。

答案： 36°
解析：设$\angle BAF = 2x$，$\angle DCE = 2y$，则$\angle BAE = x$，$\angle FCD = y$。过$E$作$EM// AB$，$\angle AEC=x+\angleECD=57^{\circ}$；过$F$作$FN// AB$，$\angle AFC=x+\angle FCD=63^{\circ}$。$\angle ECD = 180^{\circ}-2y$，联立得$x = 36^{\circ}$，$\angle BAF = 36^{\circ}$。

15. 如图，$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线交于点 $O$，过点$O$作$EF// BC$，交$AB$，$AC$于点$E$，$F$。
(1)若$\angle ABC = 50^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，求$\angle BOC$的度数；
(2)若$\angle BEF+\angle CFE=\alpha$，求$\angle BOC$的度数。（用含$\alpha$的代数式表示）

答案：
(1)125°；
(2)$180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
解析：
(1)$\because BO$，$CO$平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，$\angle OBC = 25^{\circ}$，$\angle OCB = 30^{\circ}$。$\angle BOC=180^{\circ}-25^{\circ}-30^{\circ}=125^{\circ}$。
(2)$\because EF// BC$，$\angle BEF=\angle ABC$，$\angle CFE=\angle ACB$，$\angle ABC+\angle ACB=\alpha$。$\angle OBC+\angle OCB=\frac{\alpha}{2}$，$\angle BOC=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。