《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

B组 能力提升
一、填空题
9. 若$(2x^{2n})^3 = 24$，则$x^{12n} = $______。
10. 若$x^{3n} = 3$，则$(2x^{3n})^3 + (-3x^{2n})^3 = $______。

答案： 9. 9
$(2x^{2n})^3 = 8x^{6n} = 24$，则$x^{6n} = 3$，$x^{12n} = (x^{6n})^2 = 3^2 = 9$
10. -27
$(2x^{3n})^3 = 8(x^{3n})^3 = 8×3^3 = 216$，$(-3x^{2n})^3 = -27(x^{2n})^3 = -27(x^{3n})^2 = -27×3^2 = -243$，则原式$= 216 - 243 = -27$

二、解答题
8. (1)已知$x^n = 5$，$y^n = 3$，求$(x^2y)^n$的值；
(2)计算：$(\frac{1}{10}×\frac{1}{9}×\frac{1}{8}×…×\frac{1}{2}×1)^{10}×(10×9×8×…×2×1)^{10}$。

答案：
(1)75
$(x^2y)^n = (x^2)^n \cdot y^n = (x^n)^2 \cdot y^n = 5^2×3 = 25×3 = 75$
(2)1
原式$=[(\frac{1}{10×9×…×2×1})×(10×9×…×2×1)]^{10} = (1)^{10} = 1$

11. 解决下列有关幂的问题：
(1)若$2^6 = a^3 = 4^b$，求$a + b$的值；
(2)若$n$为正整数，且$x^{2n} = 2$，求$(3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}$的值。

答案：
(1)7
$2^6 = 64$，则$a^3 = 64$，$a = 4$；$4^b = 64 = 4^3$，$b = 3$，$a + b = 4 + 3 = 7$
(2)32
$(3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n} = 9x^{6n} - 10x^{4n} = 9(x^{2n})^3 - 10(x^{2n})^2 = 9×2^3 - 10×2^2 = 9×8 - 10×4 = 72 - 40 = 32$

12. 已知$2^a = 5^b = 10$。
(1)猜想$a + b$与$ab$之间的大小关系；
(2)证明你的猜想。

答案：
(1)$a + b = ab$
(2)证明：$2^a = 10$，则$2 = 10^{\frac{1}{a}}$；$5^b = 10$，则$5 = 10^{\frac{1}{b}}$。
$2×5 = 10$，即$10^{\frac{1}{a}}×10^{\frac{1}{b}} = 10^1$，$10^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = 10^1$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$，$\frac{a + b}{ab} = 1$，故$a + b = ab$