《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

10. 在△ABC 中,若存在一个内角度数是另外一个内角度数的 n 倍(n 为大于 1 的正整数),则称△ABC 为 n 倍角三角形. 例如,在△ABC 中,∠A=80°,∠B=75°,∠C=25°,可知∠B=3∠C,所以△ABC 为 3 倍角三角形.
(1)在△ABC 中,∠A=80°,∠B=60°,则△ABC 为______倍角三角形;
(2)若锐角三角形 MNP 是 3 倍角三角形,且最小内角为α,则直接写出α的取值范围为______;
(3)如图,直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于点 O,点 A 在射线 OP 上运动(点 A 不与点 O 重合),点 B 在射线 OM 上运动(点 B 不与点 O 重合). 延长 BA 至点 G,已知∠BAO,∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线所在的直线分别相交于点 E,F,若△AEF 为 4 倍角三角形,求∠ABO 的度数.

答案：
(1)2；
(2)22.5°＜α＜30°；
(3)18°或72°
解析：
(1)∠C=40°，∠A=2∠C，2倍；
(2)α＜3α＜180°-4α，且180°-4α＜90°→α＞22.5°，3α＜90°→α＜30°，
∴22.5°＜α＜30°；
(3)AE⊥AF（邻补角平分线），△AEF为Rt△，锐角4倍关系，设小角x，4x+x=90°→x=18°，
∠AEF=18°或72°，∠ABO=θ，∠BAO=90°-θ，∠EAO=45°-θ/2，∠BOQ=90°+θ，∠FOQ=45°+θ/2，
∠AEF=∠FOQ-∠EAO=（45°+θ/2）-（45°-θ/2）=θ=18°或72°。

11. 如图,△ABC 中,∠A=40°,将△ABC 沿 DE 折叠,点 A 落在点 F 处,则∠FDB+∠FEC 的度数为 （ ）
A. 140° B. 120° C. 80° D. 70°

答案： C
解析：折叠后∠FDE=∠ADE，∠FED=∠AED，
∠FDB=180°-2∠ADE，∠FEC=180°-2∠AED，
∠FDB+∠FEC=360°-2（∠ADE+∠AED）=360°-2（180°-∠A）=2∠A=80°。

12. 如图,在△ABC 中,将△ABC 沿直线 m 翻折,点 B 落在点 D 的位置,若∠1-∠2=60°,则∠B 的度数是 （ ）
A. 30° B. 32° C. 35° D. 60°

答案： D
解析：翻折后∠B=∠D，∠1=∠B+∠D=2∠B，∠2=180°-2∠B，
∠1-∠2=2∠B-（180°-2∠B）=4∠B-180°=60°→4∠B=240°→∠B=60°。

13. 如图,将△ABC 沿 DE,EF 翻折,使其顶点 A,B 均落在点 O 处,若∠CDO+∠CFO=72°,则∠C 的度数为 （ ）
A. 36° B. 54° C. 64° D. 72°

答案： A
解析：折叠后∠CDO=∠A，∠CFO=∠B，∠A+∠B=72°，∠C=180°-72°=108°（错误），
修正：∠CDO=180°-2∠ACD，∠CFO=180°-2∠BCF，
∠CDO+∠CFO=360°-2（∠ACD+∠BCF）=72°→∠ACD+∠BCF=144°，
∠C=180°-144°=36°。