《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

7. 如图，D，E，F，G，H，I是三角形ABC三边上的点，EF//BC，GH//AC，DI//AB，连接EI.
(1)判断∠GHC与∠FEC是否相等，并说明理由；
(2)若∠FEC + ∠FGH = 210°，求∠A + ∠C的度数；
(3)若EI平分∠FEC，∠C = α，∠B = β，试用含α，β的代数式表示∠EID的度数.

答案：
(1)相等，理由：
∵EF//BC（已知），
∴∠FEC + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵GH//AC（已知），
∴∠GHC + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠GHC = ∠FEC（同角的补角相等）；
(2)150°，解析：
∵EF//BC，
∴∠FEC = 180° - ∠C（同旁内角互补），
∵GH//AC，
∴∠FGH = 180° - ∠A（同旁内角互补），
∴∠FEC + ∠FGH = (180° - ∠C) + (180° - ∠A) = 360° - (∠A + ∠C) = 210°，
∴∠A + ∠C = 150°；
(3)1/2α + β - 90°，解析：
∵EF//BC，
∴∠FEC = 180° - α（同旁内角互补），
∵EI平分∠FEC，
∴∠FEI = 1/2(180° - α) = 90° - 1/2α（角平分线定义），
∵DI//AB，
∴∠DIC = β（两直线平行，同位角相等），
∵∠EID = ∠DIC - ∠FEI，
∴∠EID = β - (90° - 1/2α) = 1/2α + β - 90°

8. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A = 30°，∠B = 60°，∠D = ∠E = 45°.
【观察猜想】
(1)∠BCD与∠ACE之间的数量关系是________；∠BCE与∠ACD之间的数量关系是________；
【类比探究】
(2)若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，试探究当∠ACD为多少度时，CE//AB？画出图形并简要说明理由；
【拓展应用】
(3)若∠BCE = 3∠ACD，求∠ACD的度数，并直接写出此时DE与AC之间的位置关系.

答案：
(1)∠BCD + ∠ACE = 180°；∠BCE = ∠ACD；
(2)30°，解析：当∠ACD = 30°时，∠ACE = 90° - 30° = 60°，
∵∠B = 60°，
∴∠ACE = ∠B，
∴CE//AB（同位角相等，两直线平行）；
(3)22.5°，DE⊥AC，解析：设∠ACD = x，则∠BCE = 3x，
∵∠BCD + ∠ACE = 180°，∠BCD = 90° + x，∠ACE = 90° - 3x，
∴90° + x + 90° - 3x = 180°，解得x = 22.5°，此时∠ACE = 90° - 3×22.5° = 22.5°，∠DEC = 45°，∠AEC = 90°，
∴DE⊥AC