《2025年学典四川七年级数学下册北师大版》

9. 如图,AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.
（1）求证:△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC=35°,求∠CAO的度数.
第9题图

答案： （1）证明：
∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形。在Rt△ACB和Rt△BDA中，BC=AD，AB=BA，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）；
（2）解：
∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠BAD=∠ABC=35°。在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-35°=55°，
∴∠CAO=∠BAC-∠BAD=55°-35°=20°。

10. 如图,已知△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,F在AC上,且BD=FD,若AB=7,CF=3,则AF=______.
第10题图

答案： 1
解析：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，AC=AE。在Rt△CDF和Rt△EDB中，CD=DE，BD=FD，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=BE=3。
∵AB=AE+BE=AC+3=7，
∴AC=4，AF=AC-CF=4-3=1。

11. 如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,BD为∠ABC的平分线,过点A作AD⊥BD于点D,BD与AC交于点E,若BE=5,则AD=______.
第11题图

答案： 2.5
解析：延长AD交BC延长线于F，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，
∴∠ABD=∠FBD，∠ADB=∠FDB=90°，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD=DF=1/2AF。
∵∠CAF+∠F=90°，∠CBE+∠F=90°，
∴∠CAF=∠CBE。又AC=BC，∠ACF=∠BCE=90°，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE=5，
∴AD=2.5。

12. 如图,已知AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD,求证:CF=DF.
第12题图

答案： 证明：连接AC、AD，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD。
∵AF⊥CD，
∴CF=DF（等腰三角形三线合一）。

13. 如图1,E,F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,BF=DE,BD交AC于点M.
（1）求证:AE=CF,MB=MD；
（2）当点E,F移动到如图2所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.
第13题图

答案： （1）证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°。在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD，BF=DE，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF。在△BFM和△DEM中，∠BFM=∠DEM，∠BMF=∠DME，BF=DE，
∴△BFM≌△DEM（AAS），
∴MB=MD；
（2）解：结论成立。证明：同（1）可证Rt△ABF≌Rt△CDE，得AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF。同理△BFM≌△DEM，得MB=MD。